Номер 109, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

109. Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой а. Докажите, что прямая а параллельна боковым рёбрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Боковыми рёбрами являются $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$. Все они параллельны и равны между собой.

Рассмотрим первую плоскость, назовем ее $\alpha$. Она содержит два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. В параллелепипеде это возможно, только если ребра являются скрещивающимися (противоположными). Например, плоскость $\alpha$ проходит через ребра $AA_1$ и $CC_1$. Эта плоскость является диагональным сечением $ACC_1A_1$.

Рассмотрим вторую плоскость, $\beta$. Она также содержит два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, плоскость $\beta$ должна содержать другую пару противоположных боковых рёбер, то есть $BB_1$ и $DD_1$. Эта плоскость является диагональным сечением $BDD_1B_1$.

По условию, эти две плоскости пересекаются по прямой $a$. Таким образом, $a = (ACC_1A_1) \cap (BDD_1B_1)$.

Докажите, что прямая a параллельна боковым рёбрам параллелепипеда

Рассмотрим основания параллелепипеда. В нижнем основании $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Поскольку $AC \subset (ACC_1A_1)$ и $BD \subset (BDD_1B_1)$, точка их пересечения $O$ принадлежит обеим плоскостям, а значит, и прямой их пересечения $a$.

Аналогично, в верхнем основании $A_1B_1C_1D_1$ диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ пересекаются в точке $O_1$. Поскольку $A_1C_1 \subset (ACC_1A_1)$ и $B_1D_1 \subset (BDD_1B_1)$, точка их пересечения $O_1$ также принадлежит обеим плоскостям, а значит, и прямой $a$.

Таким образом, прямая $a$ проходит через точки $O$ и $O_1$, то есть $a$ — это прямая $OO_1$.

Теперь докажем, что прямая $OO_1$ параллельна боковым рёбрам. Рассмотрим диагональное сечение $ACC_1A_1$. Это параллелограмм, так как $AA_1 || CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Точка $O$ — середина диагонали $AC$, а точка $O_1$ — середина диагонали $A_1C_1$. Рассмотрим четырехугольник $AOO_1A_1$. В нём $AO$ и $A_1O_1$ являются половинами равных и параллельных отрезков $AC$ и $A_1C_1$, следовательно, $AO$ параллельно $A_1O_1$ и $AO = A_1O_1$. Значит, четырехугольник $AOO_1A_1$ — параллелограмм. Из этого следует, что $OO_1 || AA_1$.

Поскольку все боковые рёбра параллелепипеда параллельны между собой ($AA_1 || BB_1 || CC_1 || DD_1$), а прямая $a$ (которая есть $OO_1$) параллельна $AA_1$, то прямая $a$ параллельна всем боковым рёбрам параллелепипеда.

Ответ: Доказано, что прямая a параллельна боковым рёбрам параллелепипеда.

Докажите, что прямая a пересекает все его диагонали

В параллелепипеде есть четыре большие диагонали: $AC_1, A_1C, BD_1, B_1D$. Известно, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая является центром симметрии параллелепипеда и делит каждую диагональ пополам. Назовем эту точку $P$.

Рассмотрим диагональ $AC_1$. Она лежит в плоскости диагонального сечения $ACC_1A_1$. Прямая $a$ (прямая $OO_1$) также лежит в этой плоскости. В параллелограмме $ACC_1A_1$ отрезок $OO_1$ соединяет середины сторон $AC$ и $A_1C_1$. Диагонали этого параллелограмма, $AC_1$ и $A_1C$, пересекаются в точке $P$. Эта точка $P$ также является серединой отрезка $OO_1$. Следовательно, точка $P$ лежит на прямой $OO_1$, то есть на прямой $a$. Это означает, что прямая $a$ пересекает диагонали $AC_1$ и $A_1C$ в точке $P$.

Аналогично рассмотрим диагональ $BD_1$. Она лежит в плоскости диагонального сечения $BDD_1B_1$. Прямая $a$ (прямая $OO_1$) также лежит в этой плоскости. В параллелограмме $BDD_1B_1$ отрезок $OO_1$ соединяет середины сторон $BD$ и $B_1D_1$. Диагонали этого параллелограмма, $BD_1$ и $B_1D$, пересекаются в той же самой точке $P$ (центре параллелепипеда). Эта точка $P$ лежит на прямой $OO_1$. Следовательно, прямая $a$ пересекает диагонали $BD_1$ и $B_1D$ в точке $P$.

Поскольку все четыре диагонали ($AC_1, A_1C, BD_1, B_1D$) проходят через точку $P$, а прямая $a$ также проходит через эту точку, то прямая $a$ пересекает все диагонали параллелепипеда.

Ответ: Доказано, что прямая a пересекает все диагонали параллелепипеда.