Номер 105, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед, дополнительные задачи. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 105, страница 35.

105. Изобразите тетраэдр DABC и отметьте точки М и N на рёбрах BD и CD и внутреннюю точку K грани ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью $MNK$, проходящей через точки $M$ на ребре $BD$, $N$ на ребре $CD$ и внутреннюю точку $K$ грани $ABC$, используется метод следов. Построение выполняется в несколько шагов.

Стоит отметить, что если прямая $MN$ окажется параллельной прямой $BC$, то построение упрощается: след секущей плоскости на плоскости $ABC$ будет представлять собой прямую, проходящую через точку $K$ параллельно $BC$. В общем случае, который рассмотрен ниже, используется универсальный метод.

Построение:

1. Поскольку точки $M$ и $N$ принадлежат плоскости грани $BCD$ (так как $M \in BD$ и $N \in CD$), отрезок $MN$ является линией пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с гранью $BCD$.
2. Для нахождения линии пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью основания $(ABC)$, найдем их общую прямую (след).
   • Продлим отрезок $MN$, лежащий в секущей плоскости, до пересечения с прямой $BC$, лежащей в плоскости основания. Точку их пересечения обозначим $P$. Так как $P \in MN$, то $P$ принадлежит плоскости $(MNK)$. Так как $P \in BC$, то $P$ принадлежит плоскости $(ABC)$. Следовательно, $P$ — общая точка двух плоскостей.
   • Точка $K$ по условию также является общей точкой плоскостей $(MNK)$ и $(ABC)$.
   • Прямая, проходящая через точки $P$ и $K$, является следом секущей плоскости на плоскости основания: $PK = (MNK) \cap (ABC)$.
3. Теперь найдем точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра основания $AB$ и $AC$. Эти точки являются точками пересечения следа $PK$ с соответствующими ребрами.
   • Пусть прямая $PK$ пересекает ребро $AB$ в точке $Q$.
   • Пусть прямая $PK$ пересекает ребро $AC$ в точке $R$.
   Отрезок $QR$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABC$.
4. Мы получили четыре вершины искомого сечения: $M$, $N$, $R$ и $Q$. Соединяем их последовательно, учитывая их принадлежность граням тетраэдра:
   • Отрезок $MN$ лежит в грани $BCD$.
   • Отрезок $NR$ соединяет точки в грани $ACD$.
   • Отрезок $RQ$ лежит в грани $ABC$.
   • Отрезок $QM$ соединяет точки в грани $ABD$.

В результате построенный четырехугольник $MQRN$ является искомым сечением тетраэдра плоскостью $(MNK)$.

Ответ: Искомое сечение — это четырёхугольник $MQRN$, построенный согласно описанному алгоритму и показанный на рисунке.