Номер 101, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

101. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Обозначим середины его рёбер следующими точками:$K$ — середина ребра $AB$,$L$ — середина ребра $CD$,$M$ — середина ребра $AC$,$N$ — середина ребра $BD$,$P$ — середина ребра $AD$,$Q$ — середина ребра $BC$.

Требуется доказать, что отрезки $KL$, $MN$ и $PQ$, соединяющие середины противо-положных рёбер ($AB$ и $CD$, $AC$ и $BD$, $AD$ и $BC$ соответственно), пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Для доказательства воспользуемся свойствами средней линии треугольника и свойством диагоналей параллелограмма.

1. Сначала докажем, что отрезки $KL$ и $PQ$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Для этого рассмотрим четырёхугольник $KPLQ$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $KP$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $KP$ является средней линией. По свойству средней линии треугольника, $KP$ параллелен стороне $BD$ и равен её половине: $KP \parallel BD$ и $KP = \frac{1}{2}BD$.

Аналогично, в треугольнике $CBD$ отрезок $QL$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$. Следовательно, $QL$ является средней линией. Значит, $QL \parallel BD$ и $QL = \frac{1}{2}BD$.

Таким образом, мы имеем $KP \parallel QL$ и $KP = QL$. Четырёхугольник, у которого две противо-положные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $KPLQ$ — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма $KL$ и $PQ$ пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Обозначим эту точку пересечения как $O$.

2. Теперь докажем, что третий отрезок, $MN$, также проходит через точку $O$ и делится ею пополам. Для этого рассмотрим четырёхугольник $MQNP$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$. Следовательно, $MQ$ — средняя линия. Таким образом, $MQ \parallel AB$ и $MQ = \frac{1}{2}AB$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $PN$ соединяет середины сторон $AD$ и $BD$. Следовательно, $PN$ — средняя линия. Таким образом, $PN \parallel AB$ и $PN = \frac{1}{2}AB$.

Следовательно, $MQ \parallel PN$ и $MQ = PN$. Это означает, что четырёхугольник $MQNP$ — также параллелограмм.

Его диагонали $MN$ и $PQ$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что середина отрезка $MN$ совпадает с серединой отрезка $PQ$.

Из пункта 1 мы знаем, что середина отрезка $PQ$ — это точка $O$. Следовательно, середина отрезка $MN$ — это тоже точка $O$.

Таким образом, все три отрезка $KL$, $MN$ и $PQ$ пересекаются в одной и той же точке $O$, и эта точка является серединой каждого из них.

Ответ: Что и требовалось доказать.