Номер 94, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

94. Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскости, каждая из которых проходит через одну из прямых и точку В? Ответ обоснуйте.

Да, данные плоскости пересекаются. Приведем обоснование.

Обозначим данные скрещивающиеся прямые как $a$ и $c$, а данную точку как $B$. По условию, точка $B$ не лежит ни на одной из этих прямых ($B \notin a$ и $B \notin c$).

Рассмотрим первую плоскость, назовем ее $\alpha$. Эта плоскость определяется прямой $a$ и точкой $B$. Согласно фундаментальной теореме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, причем только одну. Так как $B \notin a$, то плоскость $\alpha$ существует и единственна.

Аналогично, рассмотрим вторую плоскость, назовем ее $\beta$. Эта плоскость определяется прямой $c$ и точкой $B$. Так как $B \notin c$, плоскость $\beta$ также существует и единственна.

Теперь необходимо определить взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. По построению, точка $B$ принадлежит как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$. Это означает, что у плоскостей есть как минимум одна общая точка.

Две плоскости в пространстве могут либо совпадать, либо быть параллельными, либо пересекаться.

Случай совпадения плоскостей ($\alpha = \beta$) невозможен. Если бы плоскости совпадали, то в этой единой плоскости лежали бы обе прямые $a$ и $c$. Но две прямые, лежащие в одной плоскости, либо пересекаются, либо параллельны. Это противоречит условию, что прямые $a$ и $c$ — скрещивающиеся (скрещивающиеся прямые по определению не лежат в одной плоскости). Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны.

Случай параллельности плоскостей также невозможен, так как мы уже установили, что у них есть общая точка $B$. Параллельные плоскости по определению не имеют общих точек.

Таким образом, остается единственный вариант: плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Ответ: Да, эти плоскости пересекаются.