Номер 98, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

98. Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости α? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.

Существует ли плоскость, проходящая через прямую a и параллельная плоскости ??

Да, такая плоскость существует.

Обоснование: Пусть прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. По определению, это означает, что у них нет общих точек. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Так как $a \parallel \alpha$, то точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$).

Согласно теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной, через точку, не лежащую в этой плоскости (в нашем случае это точка $M$ и плоскость $\alpha$), проходит единственная плоскость, параллельная данной. Назовем эту плоскость $\beta$. Таким образом, мы имеем плоскость $\beta$, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$).

Теперь необходимо доказать, что вся прямая $a$ лежит в этой плоскости $\beta$. Предположим обратное: прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$. Поскольку точка $M$ является общей для прямой $a$ и плоскости $\beta$, то в этом случае прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в единственной точке $M$.

Воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую. В нашем случае, так как $\beta \parallel \alpha$ и прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$, то из этого следует, что прямая $a$ должна пересекать и плоскость $\alpha$.

Однако это противоречит исходному условию задачи, согласно которому прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и прямая $a$ должна целиком лежать в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).

Таким образом, мы доказали, что искомая плоскость существует.

Ответ: Да, существует.

Сколько таких плоскостей?

Такая плоскость только одна.

Обоснование: Докажем единственность такой плоскости методом от противного. Предположим, что существуют две различные плоскости, $\beta_1$ и $\beta_2$, каждая из которых проходит через прямую $a$ и параллельна плоскости $\alpha$.

Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Поскольку прямая $a$ по нашему предположению лежит в обеих плоскостях, точка $M$ также принадлежит им обеим, то есть $M \in \beta_1$ и $M \in \beta_2$.

Таким образом, мы получаем, что через одну и ту же точку $M$ (которая не лежит в плоскости $\alpha$) проходят две различные плоскости ($\beta_1$ и $\beta_2$), параллельные одной и той же плоскости $\alpha$.

Это прямо противоречит теореме о единственности плоскости, проходящей через данную точку пространства параллельно данной плоскости. Согласно этой теореме, такая плоскость может быть только одна.

Следовательно, наше допущение о существовании двух различных плоскостей, удовлетворяющих условию, является неверным.

Ответ: Существует только одна такая плоскость.