Номер 99, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

Это утверждение является обобщением теоремы Фалеса для пространства.

Дано:

Пусть даны три параллельные плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ ($\alpha \parallel \beta \parallel \gamma$). Пусть две произвольные прямые $a$ и $b$ пересекают эти плоскости. Прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ в точках $A_1, A_2, A_3$ соответственно. Прямая $b$ пересекает плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ в точках $B_1, B_2, B_3$ соответственно.

Требуется доказать:

Отношение отрезков, отсекаемых на прямой $a$, равно отношению соответствующих отрезков, отсекаемых на прямой $b$: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

Доказательство:

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямых $a$ и $b$.

1. Прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то они определяют единственную плоскость, назовем ее $\delta$. Эта плоскость $\delta$ пересекает три параллельные плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ по трем параллельным прямым. Пусть $l_1 = \delta \cap \alpha$, $l_2 = \delta \cap \beta$, $l_3 = \delta \cap \gamma$. Таким образом, $l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$. В плоскости $\delta$ мы имеем две пересекающиеся прямые $a$ и $b$, которые пересечены тремя параллельными прямыми $l_1, l_2, l_3$. По теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки. Следовательно, для прямых $a$ и $b$ выполняется равенство: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

2. Прямые $a$ и $b$ скрещиваются.

Если прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не лежат в одной плоскости. Для доказательства используем метод вспомогательной прямой. Через точку $A_1$ на прямой $a$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$ ($b' \parallel b$). Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $A_1$ и, следовательно, задают плоскость, назовем ее $\delta$. Прямая $b'$ пересекает плоскости $\beta$ и $\gamma$ в некоторых точках $C_2$ и $C_3$ соответственно. Теперь в плоскости $\delta$ лежат две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$, которые пересечены тремя параллельными плоскостями $\alpha, \beta, \gamma$. Как и в первом случае, применяем теорему Фалеса для прямых $a$ и $b'$: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{A_1C_2}{C_2C_3} \quad (1) $$ Теперь рассмотрим плоскость $\epsilon$, заданную параллельными прямыми $b$ и $b'$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ по параллельным прямым $A_1B_1, C_2B_2, C_3B_3$. Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1B_2C_2$. Его противоположные стороны $A_1C_2$ и $B_1B_2$ параллельны по построению ($b' \parallel b$). Стороны $A_1B_1$ и $C_2B_2$ параллельны как линии пересечения параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с плоскостью $\epsilon$. Следовательно, $A_1B_1B_2C_2$ — параллелограмм, а значит $A_1C_2 = B_1B_2$. Аналогично, четырехугольник $C_2B_2B_3C_3$ является параллелограммом, откуда следует, что $C_2C_3 = B_2B_3$. Подставим полученные равенства длин отрезков в соотношение (1): $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

3. Прямые $a$ и $b$ параллельны.

Если $a \parallel b$, то они лежат в одной плоскости $\delta$. Эта плоскость пересекает плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ по параллельным прямым $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$. Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2B_2B_1$. В нем $A_1A_2 \parallel B_1B_2$ (т.к. $a \parallel b$) и $A_1B_1 \parallel A_2B_2$ (линии пересечения параллельных плоскостей). Значит, $A_1A_2B_2B_1$ — параллелограмм, и $A_1A_2 = B_1B_2$. Аналогично, $A_2A_3B_3B_2$ — параллелограмм, и $A_2A_3 = B_2B_3$. Из этих равенств очевидно следует пропорция: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

Таким образом, утверждение справедливо для любого взаимного расположения двух прямых в пространстве. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Три параллельные плоскости отсекают на любых двух прямых, пересекающих эти плоскости, пропорциональные отрезки.