Номер 92, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Плоскость α и прямая а параллельны прямой b. Докажите, что прямая а либо параллельна плоскости α, либо лежит в ней.

Дано:

Плоскость $\alpha$, прямая $a$, прямая $b$.

Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$ ($\alpha \parallel b$).

Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Доказать:

Прямая $a$ либо параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), либо лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Доказательство:

Рассмотрим взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $\alpha$. Существует три возможных случая:

1. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке.
2. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ (не имеет с ней общих точек).
3. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ (имеет с ней бесконечно много общих точек).

Нам нужно доказать, что возможны только второй и третий случаи. Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что утверждение неверно, и прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $M$. Таким образом, $M \in a$ и $M \in \alpha$.

По условию, прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$). Согласно свойству параллельных прямых, через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$. Таким образом, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

Теперь рассмотрим плоскость $\beta$ и плоскость $\alpha$. Точка $M$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, следовательно, $M \in \beta$. Также, по нашему предположению, $M \in \alpha$. Значит, точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а следовательно, эти плоскости пересекаются. Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Обозначим эту прямую как $c$, то есть $\alpha \cap \beta = c$.

Теперь воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости (в обратную сторону). У нас есть плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $b$, параллельную плоскости $\alpha$ (по условию $\alpha \parallel b$), и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $c$. Из этого следует, что прямая пересечения $c$ должна быть параллельна прямой $b$, то есть $c \parallel b$.

Итак, мы получили следующие соотношения:

• $a \parallel b$ (по условию).
• $c \parallel b$ (как мы только что доказали).

Из транзитивности параллельности прямых в пространстве следует, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $a \parallel c$.

Однако мы знаем, что точка $M$ принадлежит прямой $a$ (по предположению) и также принадлежит прямой $c$ (поскольку $M$ — общая точка для $\alpha$ и $\beta$, а $c$ — их линия пересечения). Получается, что через точку $M$ проходят две параллельные прямые $a$ и $c$. Это возможно только в том случае, если эти прямые совпадают, то есть $a = c$.

Но прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а значит, она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Если $a = c$, то и прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Это противоречит нашему исходному предположению о том, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ только в одной точке. Следовательно, наше предположение было неверным.

Таким образом, случай, когда прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке, невозможен. Остаются только две другие возможности: прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ или прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость $\alpha$ и прямая $a$ параллельны одной и той же прямой $b$, то прямая $a$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней.