Номер 96, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

96. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключённые между плоскостью и параллельной ей прямой, равны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллельных прямых и плоскостей в пространстве.

Дано:

1. Плоскость $\alpha$.

2. Прямая $a$, параллельная плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

3. Две параллельные прямые $b$ и $c$ ($b \parallel c$).

4. Прямые $b$ и $c$ пересекают прямую $a$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

5. Прямые $b$ и $c$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $B_2$ и $C_2$ соответственно.

Таким образом, мы имеем два отрезка $B_1B_2$ и $C_1C_2$, которые являются отрезками параллельных прямых $b$ и $c$, заключенными между прямой $a$ и плоскостью $\alpha$.

Доказать:

Длины отрезков $B_1B_2$ и $C_1C_2$ равны, то есть $B_1B_2 = C_1C_2$.

Доказательство:

1. Поскольку прямые $b$ и $c$ параллельны, согласно теореме о существовании плоскости, проходящей через две параллельные прямые, через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

2. Все точки $B_1, B_2, C_1, C_2$ лежат в этой плоскости $\beta$.

3. Точки $B_1$ и $C_1$ принадлежат прямой $a$. Так как эти точки также лежат в плоскости $\beta$, то и вся прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).

4. Точки $B_2$ и $C_2$ принадлежат плоскости $\alpha$. Так как эти точки также лежат в плоскости $\beta$, то прямая, проходящая через них (назовем ее $d$), является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

5. Теперь рассмотрим взаимное расположение прямой $a$ и прямой $d$. У нас есть плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $d$. Согласно свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения $d$ параллельна прямой $a$. То есть $B_2C_2 \parallel B_1C_1$.

6. Рассмотрим четырехугольник $B_1C_1C_2B_2$. Все его вершины лежат в одной плоскости $\beta$. В этом четырехугольнике:

- Стороны $B_1B_2$ и $C_1C_2$ параллельны, так как они лежат на параллельных по условию прямых $b$ и $c$ ($B_1B_2 \parallel C_1C_2$).

- Стороны $B_1C_1$ и $B_2C_2$ параллельны, как мы доказали в пункте 5.

7. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $B_1C_1C_2B_2$ — это параллелограмм.

8. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Значит, $B_1B_2 = C_1C_2$.

Утверждение доказано.

Ответ: Отрезки параллельных прямых ($B_1B_2$ и $C_1C_2$), заключённые между плоскостью ($\alpha$) и параллельной ей прямой ($a$), равны, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма, образованного этими отрезками и отрезками на прямой $a$ и в плоскости $\alpha$.