Номер 100, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

100. Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.

Для решения задачи докажем два утверждения: существование такой плоскости и ее единственность.

Доказательство существования

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые $l$ и $m$, и точка $A$.

Через точку $A$ проведём прямую $l'$, параллельную прямой $l$. Также через точку $A$ проведём прямую $m'$, параллельную прямой $m$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такие прямые существуют и единственны.

Поскольку исходные прямые $l$ и $m$ скрещиваются, они не параллельны. Следовательно, построенные прямые $l'$ и $m'$ также не параллельны. Так как они обе проходят через точку $A$, они являются пересекающимися прямыми.

Две пересекающиеся прямые ($l'$ и $m'$) однозначно задают плоскость. Назовём эту плоскость $\pi$. По построению, плоскость $\pi$ проходит через точку $A$.

Теперь покажем, что плоскость $\pi$ удовлетворяет условию задачи.Плоскость $\pi$ содержит прямую $l'$. Так как $l' \parallel l$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость $\pi$ параллельна прямой $l$ (или содержит её).Аналогично, плоскость $\pi$ содержит прямую $m'$. Так как $m' \parallel m$, то плоскость $\pi$ параллельна прямой $m$ (или содержит её).

Рассмотрим все возможные случаи расположения точки $A$:

1. Точка $A$ не принадлежит ни прямой $l$, ни прямой $m$ ($A \notin l$ и $A \notin m$). В этом случае построенные прямые $l'$ и $m'$ не совпадают с $l$ и $m$. Плоскость $\pi$ не содержит ни одну из прямых $l$ и $m$. Следовательно, плоскость $\pi$ параллельна обеим данным прямым $l$ и $m$.
2. Точка $A$ принадлежит прямой $l$ ($A \in l$). Тогда прямая $l'$, проходящая через $A$ и параллельная $l$, совпадает с самой прямой $l$ ($l' \equiv l$). Поскольку $l$ и $m$ скрещиваются, точка $A$ не может принадлежать прямой $m$ ($A \notin m$). Плоскость $\pi$ в этом случае определяется пересекающимися прямыми $l$ и $m'$. Таким образом, плоскость $\pi$ проходит через прямую $l$ и параллельна прямой $m$.
3. Точка $A$ принадлежит прямой $m$ ($A \in m$). Аналогично предыдущему случаю, плоскость $\pi$ будет проходить через прямую $m$ и будет параллельна прямой $l$.

Во всех случаях построенная плоскость $\pi$ проходит через точку $A$ и либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой. Существование доказано.

Доказательство единственности

Предположим, что существует другая плоскость $\sigma$, которая также проходит через точку $A$ и удовлетворяет условию задачи. Это означает, что для плоскости $\sigma$ выполняется одно из трех условий:

• $\sigma \parallel l$ и $\sigma \parallel m$;
• $\sigma$ содержит $l$ и $\sigma \parallel m$;
• $\sigma$ содержит $m$ и $\sigma \parallel l$.

В любом из этих трех случаев плоскость $\sigma$ параллельна как прямой $l$, так и прямой $m$. (Плоскость, содержащая прямую, является частным случаем параллельности, когда расстояние между ними равно нулю). Это означает, что направляющие векторы прямых $l$ и $m$ параллельны плоскости $\sigma$.

Вспомним плоскость $\pi$, построенную в доказательстве существования. Она была задана прямыми $l' \parallel l$ и $m' \parallel m$. Следовательно, плоскость $\pi$ также параллельна прямым $l$ и $m$.

Таким образом, обе плоскости, $\pi$ и $\sigma$, параллельны двум одним и тем же непараллельным прямым ($l$ и $m$). Это означает, что плоскости $\pi$ и $\sigma$ параллельны друг другу.

При этом нам известно, что обе плоскости проходят через одну и ту же точку $A$. Если две параллельные плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они совпадают.

Следовательно, $\sigma \equiv \pi$. Это доказывает, что искомая плоскость единственна.

Ответ: Утверждение доказано. Через точку $A$ проходит одна и только одна плоскость, удовлетворяющая заданным условиям.