Номер 107, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

107. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани BDC.

Пусть дана плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M$ на ребре $AB$ тетраэдра $ABCD$, и параллельная плоскости грани $BDC$. Нам необходимо построить сечение тетраэдра этой плоскостью.

Построение:

1. Построение в грани $ABD$.
Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$. Плоскость грани $ABD$ пересекает плоскость основания $BDC$ по прямой $BD$.
По свойству параллельных плоскостей, если плоскость (в нашем случае $ABD$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $BDC$), то линии их пересечения параллельны.
Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ и грани $ABD$ должна быть параллельна прямой $BD$.
Проведем в плоскости грани $ABD$ через точку $M$ прямую, параллельную $BD$. Эта прямая пересечет ребро $AD$ в некоторой точке $N$. Отрезок $MN$ — это одна из сторон искомого сечения. Таким образом, $MN || BD$.

2. Построение в грани $ACD$.
Точка $N$, полученная на предыдущем шаге, принадлежит ребру $AD$ и, следовательно, грани $ACD$. Также точка $N$ лежит в секущей плоскости $\alpha$.
Плоскость грани $ACD$ пересекает плоскость основания $BDC$ по прямой $CD$.
Аналогично первому шагу, линия пересечения плоскости $\alpha$ и грани $ACD$ должна быть параллельна прямой $CD$.
Проведем в плоскости грани $ACD$ через точку $N$ прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечет ребро $AC$ в некоторой точке $P$. Отрезок $NP$ — это вторая сторона искомого сечения. Таким образом, $NP || CD$.

3. Завершение построения.
Точки $M$ и $P$ лежат на ребрах $AB$ и $AC$ соответственно и принадлежат секущей плоскости $\alpha$. Соединив их, мы получим отрезок $MP$, который является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABC$. Этот отрезок является третьей стороной сечения.
Поскольку две пересекающиеся прямые $MN$ и $NP$ в плоскости сечения параллельны двум пересекающимся прямым $BD$ и $CD$ в плоскости основания, то плоскость сечения $(MNP)$ параллельна плоскости основания $(BDC)$, что соответствует условию задачи. Также из этого следует, что третья сторона сечения $MP$ будет параллельна третьей стороне основания $BC$ ($MP || BC$).

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MNP$.

Ответ: Искомое сечение представляет собой треугольник $MNP$, вершины которого лежат на ребрах тетраэдра: $M \in AB$ (по условию), $N \in AD$ и $P \in AC$. Построение выполняется следующим образом: через точку $M$ проводится прямая, параллельная $BD$, до пересечения с ребром $AD$ в точке $N$; затем через точку $N$ проводится прямая, параллельная $CD$, до пересечения с ребром $AC$ в точке $P$. Треугольник $MNP$ является искомым сечением.