Номер 110, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

110. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость А₁DВ параллельна плоскости D₁CB₁.

Для доказательства того, что плоскость $A_1DB$ параллельна плоскости $D_1CB_1$, воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим плоскость $(A_1DB)$. Она определяется тремя точками $A_1, D, B$. Выберем в этой плоскости две пересекающиеся прямые: $A_1D$ и $DB$. Эти прямые пересекаются в точке $D$.

Рассмотрим плоскость $(D_1CB_1)$. Она определяется точками $D_1, C, B_1$.

Теперь докажем, что каждая из выбранных прямых в плоскости $(A_1DB)$ параллельна некоторой прямой в плоскости $(D_1CB_1)$.

1. Рассмотрим прямую $DB$ и докажем ее параллельность прямой в плоскости $(D_1CB_1)$.Четырехугольник $DBB_1D_1$ является параллелограммом, так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, и его ребра $DD_1$ и $BB_1$ параллельны и равны ($DD_1 \parallel BB_1$, $DD_1 = BB_1$). В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, следовательно, $DB \parallel D_1B_1$. Прямая $D_1B_1$ полностью лежит в плоскости $(D_1CB_1)$, так как обе точки $D_1$ и $B_1$ принадлежат этой плоскости.

2. Рассмотрим прямую $A_1D$ и докажем ее параллельность прямой в плоскости $(D_1CB_1)$.Рассмотрим четырехугольник $A_1DCB_1$. В параллелепипеде грань $ABCD$ является параллелограммом, поэтому $AD \parallel BC$ и $AD = BC$. Также грань $ADD_1A_1$ является параллелограммом, поэтому $AD \parallel A_1D_1$ и $AD = A_1D_1$. Отсюда следует, что $BC \parallel A_1D_1$ и $BC = A_1D_1$. Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Значит, $A_1D_1CB$ — параллелограмм. Следовательно, его противолежащие стороны $A_1B$ и $D_1C$ параллельны. Это не то, что нам нужно.

Рассмотрим другой четырехугольник: $A_1B_1CD$.По определению параллелепипеда, $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = AB$. Также $AB \parallel DC$ и $AB = DC$. По свойству транзитивности, $A_1B_1 \parallel DC$ и $A_1B_1 = DC$.Так как в четырехугольнике $A_1B_1CD$ две противолежащие стороны параллельны и равны, он является параллелограммом. В параллелограмме другие две противолежащие стороны также параллельны. Следовательно, $A_1D \parallel B_1C$. Прямая $B_1C$ полностью лежит в плоскости $(D_1CB_1)$, так как обе точки $B_1$ и $C$ принадлежат этой плоскости.

Итак, мы установили, что:
- Две пересекающиеся прямые $A_1D$ и $DB$ лежат в плоскости $(A_1DB)$.
- Две пересекающиеся прямые $B_1C$ и $D_1B_1$ лежат в плоскости $(D_1CB_1)$.
- $A_1D \parallel B_1C$ и $DB \parallel D_1B_1$.

Таким образом, по признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $(A_1DB)$ параллельна плоскости $(D_1CB_1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскость $A_1DB$ параллельна плоскости $D_1CB_1$.