Номер 117, страница 41 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

117. В тетраэдре ABCD ВС ⊥ AD. Докажите, что AD ⊥ MN, где М и N — середины рёбер АВ и АС.

Данное утверждение можно доказать двумя способами: геометрически и с помощью векторов.

1. Геометрический способ.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $AB$ и $AC$ соответственно, то отрезок $MN$ по определению является средней линией этого треугольника.

По свойству средней линии треугольника, она всегда параллельна третьей стороне. В данном случае, прямая, содержащая отрезок $MN$, параллельна прямой, содержащей ребро $BC$. Математически это записывается как $MN \parallel BC$.

По условию задачи дано, что ребро $BC$ перпендикулярно ребру $AD$, то есть $BC \perp AD$.

В стереометрии есть теорема о перпендикулярности прямых: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой третьей прямой.

Так как мы установили, что $MN \parallel BC$, и по условию $BC \perp AD$, то из этого следует, что $MN \perp AD$.

Что и требовалось доказать.

2. Векторный способ.

Введём векторы, выходящие из вершины $A$: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$.

Условие перпендикулярности прямых $BC$ и $AD$ в векторной форме означает, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю: $\vec{BC} \cdot \vec{AD} = 0$.

Выразим вектор $\vec{BC}$ через базисные векторы: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{b}$.

Подставим это выражение в условие перпендикулярности: $(\vec{c} - \vec{b}) \cdot \vec{d} = 0$.

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки: $\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{d} = 0$. Отсюда следует равенство: $\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{d}$.

Теперь найдём вектор $\vec{MN}$. Поскольку $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AC$, их радиус-векторы относительно точки $A$ равны: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$ и $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.

Вектор $\vec{MN}$ можно найти как разность векторов, проведённых к его концу и началу: $\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{b})$.

Чтобы доказать, что $AD \perp MN$, необходимо показать, что скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{MN}$ равно нулю. Вычислим его: $$ \vec{AD} \cdot \vec{MN} = \vec{d} \cdot \left( \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{b}) \right) = \frac{1}{2}(\vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b}) $$

Из ранее полученного равенства мы знаем, что $\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{d}$ (или, что то же самое, $\vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{d} \cdot \vec{b}$). Подставим это в наше выражение: $$ \vec{AD} \cdot \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{c}) = \frac{1}{2}(0) = 0 $$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, эти векторы ортогональны, а следовательно, прямые $AD$ и $MN$ перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано.