Номер 120, страница 41 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОK, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата, если ОK = b.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Точка $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. По условию, через точку $O$ проведена прямая $OK$, перпендикулярная плоскости квадрата, причем $OK = b$. Требуется найти расстояние от точки $K$ до вершин квадрата, то есть длины отрезков $KA$, $KB$, $KC$ и $KD$.

Поскольку точка $K$ находится на перпендикуляре к плоскости квадрата, восстановленном из его центра $O$, точка $K$ равноудалена от всех вершин квадрата. Поэтому достаточно найти расстояние от точки $K$ до одной из вершин, например, до вершины $A$. Это расстояние равно длине отрезка $KA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKA$. В этом треугольнике:

• катет $OK$ равен $b$ по условию.
• катет $OA$ — это половина диагонали квадрата.
• гипотенуза $KA$ — искомое расстояние.

Прямая $OK$ перпендикулярна плоскости квадрата, значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. Следовательно, $OK \perp OA$, и треугольник $\triangle OKA$ действительно прямоугольный.

Найдем длину катета $OA$. Сначала вычислим длину диагонали квадрата $AC$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, поэтому:
$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle OKA$ найдем длину гипотенузы $KA$:
$KA^2 = OK^2 + OA^2$
Подставим известные значения:
$KA^2 = b^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = b^2 + \frac{a^2}{2}$

Отсюда находим искомое расстояние:
$KA = \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{2}}$

Так как расстояния от точки $K$ до всех вершин квадрата равны, то $KA=KB=KC=KD$.

Ответ: Расстояние от точки $K$ до вершин квадрата равно $\sqrt{b^2 + \frac{a^2}{2}}$.