Номер 119, страница 41 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

119. Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что:

Введем обозначения и проанализируем условие задачи. Дано:
1. Прямая $OA$ перпендикулярна плоскости $OBC$, что обозначается как $OA \perp \text{пл. } OBC$.
2. Точка $O$ является серединой отрезка $AD$, что означает $AO = OD$.
Из первого условия следует, что прямая $OA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $OBC$ и проходящей через точку $O$. В частности, $OA \perp OB$ и $OA \perp OC$. Это значит, что треугольники $AOB$ и $AOC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $O$.
Из второго условия следует, что точки $A, O, D$ лежат на одной прямой. Так как $OA \perp \text{пл. } OBC$, то и вся прямая $AD$ перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, $OD \perp \text{пл. } OBC$, и, в частности, $OD \perp OB$. Таким образом, треугольник $DOB$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOB$.
1. Как было показано выше, оба треугольника являются прямоугольными, т.е. $\angle AOB = \angle DOB = 90^\circ$.
2. Сторона $OB$ является общей для обоих треугольников.
3. По условию, точка $O$ — середина отрезка $AD$, следовательно, катеты $AO$ и $DO$ равны: $AO = DO$.
Таким образом, $\triangle AOB = \triangle DOB$ по двум катетам.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, гипотенуза $AB$ треугольника $AOB$ равна гипотенузе $DB$ треугольника $DOB$.
Следовательно, $AB = DB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$.
1. Как было установлено, оба треугольника являются прямоугольными, так как $OA \perp OB$ и $OA \perp OC$, то есть $\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$.
2. Катет $OA$ является общим для обоих треугольников.
3. По условию данного пункта, катеты $OB$ и $OC$ равны: $OB = OC$.
Таким образом, $\triangle AOB = \triangle AOC$ по двум катетам.
Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = AC$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ ($\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$).
1. Катет $OA$ является общим для обоих треугольников.
2. По условию данного пункта, гипотенузы $AB$ и $AC$ равны: $AB = AC$.
Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ равны по катету и гипотенузе.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, катет $OB$ треугольника $AOB$ равен катету $OC$ треугольника $AOC$.
Следовательно, $OB = OC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.