Номер 116, страница 41 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

116. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что:

а)

Докажем сначала, что $DC \perp B_{1}C_{1}$.

По свойству параллелепипеда, его грани являются параллелограммами. В грани $BCC_{1}B_{1}$ ребро $B_{1}C_{1}$ параллельно ребру $BC$. В основании $ABCD$ ребро $BC$ параллельно ребру $AD$. Таким образом, по свойству транзитивности параллельных прямых, $B_{1}C_{1} \parallel AD$.

Угол между скрещивающимися прямыми $DC$ и $B_{1}C_{1}$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Так как $B_{1}C_{1} \parallel AD$, то искомый угол равен углу между прямыми $DC$ и $AD$, то есть $\angle ADC$.

Основание $ABCD$ — параллелограмм. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ$. По условию задачи дано, что $\angle BAD = 90^\circ$, значит $\angle ADC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Это означает, что $DC \perp AD$. Поскольку $AD \parallel B_{1}C_{1}$, то отсюда следует, что $DC \perp B_{1}C_{1}$.

Теперь докажем, что $AB \perp A_{1}D_{1}$.

В грани $ADD_{1}A_{1}$ ребро $A_{1}D_{1}$ параллельно ребру $AD$ ($A_{1}D_{1} \parallel AD$). Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $A_{1}D_{1}$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB$ и $AD$. Этот угол — $\angle BAD$.

Согласно условию, $\angle BAD = 90^\circ$. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $A_{1}D_{1}$ равен $90^\circ$, что по определению означает $AB \perp A_{1}D_{1}$.

Ответ: Утверждения доказаны.

б)

Докажем сначала, что $AB \perp CC_{1}$.

В параллелепипеде все боковые ребра параллельны друг другу. В частности, ребро $CC_{1}$ параллельно ребру $DD_{1}$ ($CC_{1} \parallel DD_{1}$).

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CC_{1}$ равен углу между прямыми $AB$ и $DD_{1}$, так как $CC_{1} \parallel DD_{1}$. По условию дано, что $AB \perp DD_{1}$, то есть угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, угол между $AB$ и $CC_{1}$ также равен $90^\circ$, что означает $AB \perp CC_{1}$.

Теперь докажем, что $DD_{1} \perp A_{1}B_{1}$.

В грани $ABB_{1}A_{1}$ противоположные стороны параллельны, поэтому $A_{1}B_{1} \parallel AB$. Угол между скрещивающимися прямыми $DD_{1}$ и $A_{1}B_{1}$ равен углу между прямыми $DD_{1}$ и $AB$, так как $A_{1}B_{1} \parallel AB$.

Из условия известно, что $AB \perp DD_{1}$, значит, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, угол между $DD_{1}$ и $A_{1}B_{1}$ тоже равен $90^\circ$, что означает $DD_{1} \perp A_{1}B_{1}$.

Ответ: Утверждения доказаны.