Номер 122, страница 41 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

122. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОK, параллельная прямой CD. Известно, что AB = 163 см, ОK = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и K до вершин А и В треугольника .

Для решения задачи разобьем ее на несколько логических шагов. Сначала найдем важные параметры треугольника $ABC$ в его плоскости, а затем используем эти данные для нахождения искомых расстояний в пространстве.

1. Анализ свойств треугольника $ABC$ и нахождение расстояний в его плоскости

По условию, треугольник $ABC$ — правильный (равносторонний) со стороной $a = AB = 16\sqrt{3}$ см. Точка $O$ — центр этого треугольника, что означает, что она является центром описанной окружности. Расстояние от центра правильного треугольника до его вершин равно радиусу $R$ описанной окружности.

Формула для вычисления радиуса описанной окружности правильного треугольника со стороной $a$:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим известное значение стороны $a = 16\sqrt{3}$ см:

$R = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16$ см.

Таким образом, расстояния от центра $O$ до вершин треугольника равны: $OA = OB = OC = 16$ см. Также, по определению правильного треугольника, все его стороны равны: $AC = BC = AB = 16\sqrt{3}$ см.

Расстояние от точки D до вершин A и B

В условии сказано, что прямая $CD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Из этого следует, что $CD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C$. В частности, $CD \perp AC$ и $CD \perp BC$.

Следовательно, треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $C$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $AD$ равен сумме квадратов катетов $AC$ и $CD$. Нам известно, что $AC = 16\sqrt{3}$ см и $CD = 16$ см.

$AD^2 = AC^2 + CD^2 = (16\sqrt{3})^2 + 16^2$

$AD^2 = 16^2 \cdot (\sqrt{3})^2 + 16^2 = 16^2 \cdot 3 + 16^2 \cdot 1 = 16^2 \cdot (3+1) = 16^2 \cdot 4 = 1024$

$AD = \sqrt{1024} = 32$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ правильный, то $AC = BC$. Треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ равны по двум катетам ($AC=BC$ и $CD$ — общий катет). Следовательно, их гипотенузы также равны: $AD = BD$.

Ответ: расстояние от точки D до вершины A равно 32 см, расстояние от точки D до вершины B равно 32 см.

Расстояние от точки K до вершин A и B

По условию, прямая $OK$ параллельна прямой $CD$ ($OK \parallel CD$). Так как $CD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то и параллельная ей прямая $OK$ также перпендикулярна этой плоскости. Это означает, что $OK$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $ABC$, проходящей через точку $O$. В частности, $OK \perp OA$ и $OK \perp OB$.

Следовательно, треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle BOK$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOK$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $AK$ равен сумме квадратов катетов $OA$ и $OK$. Ранее мы нашли, что $OA = 16$ см, а по условию $OK = 12$ см.

$AK^2 = OA^2 + OK^2 = 16^2 + 12^2$

$AK^2 = 256 + 144 = 400$

$AK = \sqrt{400} = 20$ см.

Поскольку $OA = OB$ (как радиусы одной и той же описанной окружности) и катет $OK$ у треугольников $\triangle AOK$ и $\triangle BOK$ общий, эти треугольники равны по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы равны: $AK = BK$.

Ответ: расстояние от точки K до вершины A равно 20 см, расстояние от точки K до вершины B равно 20 см.