Номер 114, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

114. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости АСС₁.

Для построения сечения параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точку $M$ на ребре $AB$ и параллельной плоскости $ACC_1$, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на свойствах параллельных плоскостей и прямых.

Построение

1. В плоскости нижнего основания $(ABC)$ через точку $M$ проводим прямую, параллельную диагонали $AC$. Точку пересечения этой прямой с ребром $BC$ обозначаем $N$. Отрезок $MN$ — это линия пересечения (след) секущей плоскости с гранью $ABCD$.

2. В плоскости передней боковой грани $(AA_1B_1B)$ через точку $M$ проводим прямую, параллельную боковому ребру $AA_1$. Точку пересечения этой прямой с ребром $A_1B_1$ обозначаем $M_1$. Отрезок $MM_1$ — это след секущей плоскости на грани $AA_1B_1B$.

3. Теперь у нас есть три точки сечения: $M$, $N$, и $M_1$. Для нахождения четвертой вершины сечения, точки $N_1$, можно действовать одним из двух эквивалентных способов:

а) В плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$ через точку $M_1$ проводим прямую, параллельную диагонали $A_1C_1$. Она пересечет ребро $B_1C_1$ в искомой точке $N_1$.

б) В плоскости правой боковой грани $(BCC_1B_1)$ через точку $N$ проводим прямую, параллельную ребру $CC_1$. Она пересечет ребро $B_1C_1$ в той же точке $N_1$.

4. Соединяем точки $M, N, N_1, M_1$ последовательно. Полученный четырехугольник $MNN_1M_1$ и есть искомое сечение.

Обоснование

Секущая плоскость $\alpha$ по условию должна быть параллельна плоскости $(ACC_1)$. Плоскость $(ACC_1)$ однозначно определяется двумя пересекающимися прямыми, например, диагональю основания $AC$ и боковым ребром $AA_1$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $\alpha$ будет параллельна плоскости $(ACC_1)$, если она проходит через две пересекающиеся прямые, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости $(ACC_1)$.

В нашем построении мы задали плоскость сечения $\alpha$ двумя прямыми, пересекающимися в точке $M$: прямой, содержащей отрезок $MN$, и прямой, содержащей отрезок $MM_1$. По построению $MN \parallel AC$ и $MM_1 \parallel AA_1$. Так как $AC \subset (ACC_1)$ и $AA_1 \subset (ACC_1)$, то построенная плоскость $MNN_1M_1$ параллельна плоскости $(ACC_1)$.

Все точки $M, N, N_1, M_1$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости граней параллелепипеда, то линии пересечения также должны быть параллельны.
Плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны, следовательно, линии их пересечения с плоскостью $\alpha$ параллельны: $MN \parallel M_1N_1$.
Боковые ребра параллелепипеда параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$). По построению $MM_1 \parallel AA_1$ и $NN_1 \parallel CC_1$, значит $MM_1 \parallel NN_1$.
Поскольку у четырехугольника $MNN_1M_1$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $MNN_1M_1$, где точка $N$ лежит на ребре $BC$, точка $M_1$ — на ребре $A_1B_1$, и точка $N_1$ — на ребре $B_1C_1$. Построение сечения заключается в последовательном нахождении его сторон: через точку $M$ проводятся прямые $MN \parallel AC$ (где $N \in BC$) и $MM_1 \parallel AA_1$ (где $M_1 \in A_1B_1$), после чего достраивается параллелограмм $MNN_1M_1$.