Номер 108, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

108. В тетраэдре DABC биссектрисы трёх углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А₁, В₁ и С₁. Докажите, что отрезки AA₁, BB₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

Для доказательства того, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, рассмотрим треугольник $ABC$, который является основанием тетраэдра. Отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ являются чевианами этого треугольника, так как их концы лежат на вершинах треугольника и противолежащих им сторонах.

Мы можем воспользоваться обратной теоремой Чевы. Согласно этой теореме, три чевианы треугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда произведение отношений, в которых их основания делят стороны треугольника, равно единице. Для чевиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ это условие записывается так:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

Докажем, что это равенство выполняется, используя данные задачи. Для этого найдем каждое из отношений, применяя свойство биссектрисы угла треугольника к граням тетраэдра, сходящимся в вершине $D$.

1. Рассмотрим треугольник $DBC$. По условию, биссектриса угла $\angle BDC$ пересекает сторону $BC$ в точке $A_1$. Следовательно, отрезок $DA_1$ является биссектрисой в треугольнике $DBC$. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

   $$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{DB}{DC} $$

2. Рассмотрим треугольник $DCA$. По условию, биссектриса угла $\angle ADC$ пересекает сторону $CA$ в точке $B_1$. Таким образом, $DB_1$ — биссектриса в треугольнике $DCA$. По свойству биссектрисы:

   $$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{DC}{DA} $$

3. Рассмотрим треугольник $DAB$. По условию, биссектриса угла $\angle ADB$ пересекает сторону $AB$ в точке $C_1$. Значит, $DC_1$ — биссектриса в треугольнике $DAB$. По свойству биссектрисы:

   $$ \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{DA}{DB} $$

Теперь подставим полученные выражения для отношений в левую часть равенства из теоремы Чевы:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{DA}{DB} \cdot \frac{DB}{DC} \cdot \frac{DC}{DA} $$

Сокращая дроби в правой части выражения, получаем:

$$ \frac{DA \cdot DB \cdot DC}{DB \cdot DC \cdot DA} = 1 $$

Таким образом, мы получили тождество $1 = 1$. Это означает, что условие теоремы Чевы выполняется.

Ответ: Так как для чевиан $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$ выполняется условие $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$, то по обратной теореме Чевы эти отрезки пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.