Номер 89, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

89. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников ABC и CBD пересекаются соответственно в точках М₁ и М₂. Докажите, что отрезки AD и М₁М₂ параллельны.

Пусть K — середина общего ребра BC для треугольников ABC и CBD. Тогда AK — медиана треугольника ABC, а DK — медиана треугольника CBD.

По условию, M? — точка пересечения медиан треугольника ABC, а M? — точка пересечения медиан треугольника CBD. Точка пересечения медиан также называется центроидом треугольника. Следовательно, точка M? лежит на медиане AK, а точка M? лежит на медиане DK.

По свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, для треугольника ABC и медианы AK имеем:

$AM_1 : M_1K = 2:1$

Отсюда следует, что $KM_1$ составляет одну треть от всей медианы AK, то есть $\frac{KM_1}{KA} = \frac{1}{3}$.

Аналогично для треугольника CBD и медианы DK имеем:

$DM_2 : M_2K = 2:1$

Отсюда следует, что $\frac{KM_2}{KD} = \frac{1}{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник ADK. Точки A, D и K образуют треугольник, так как по условию точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Точка M? лежит на стороне AK, а точка M? — на стороне DK этого треугольника.

Мы получили, что $\frac{KM_1}{KA} = \frac{KM_2}{KD} = \frac{1}{3}$.

Рассмотрим треугольники $KM_1M_2$ и $KAD$. У них общий угол при вершине K (угол $\angle AKD$). Стороны, образующие этот угол, пропорциональны, как мы показали выше. Следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $KM_1M_2$ подобен треугольнику $KAD$ ($\triangle KM_1M_2 \sim \triangle KAD$).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные углы равны. В частности, $\angle KM_1M_2 = \angle KAD$. Эти углы являются соответственными при прямых $M_1M_2$ и $AD$ и секущей AK. Так как соответственные углы равны, то прямые $M_1M_2$ и $AD$ параллельны.

Таким образом, отрезки $AD$ и $M_1M_2$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.