Номер 88, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

88. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость α в точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости α, АС = 8 см, BD = 6 см, АВ = 4 см.

а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость α в некоторой точке Е.

б) Найдите отрезок BE.

а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость ? в некоторой точке E.

Поскольку прямые $AC$ и $BD$ параллельны по условию, через них проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$. В этой плоскости лежат точки $A, B, C$ и $D$.
Фигура $ACDB$ в плоскости $\beta$ является трапецией, так как две ее стороны ($AC$ и $BD$) лежат на параллельных прямых, а две другие стороны ($AB$ и $CD$) являются боковыми сторонами.
Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ не параллельны, так как в противном случае $ACDB$ была бы параллелограммом, и ее противоположные стороны $AC$ и $BD$ были бы равны, что противоречит условию ($AC=8$ см, $BD=6$ см).
Так как прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они пересекаются в некоторой точке. Назовем эту точку $E$.
Точка $E$ принадлежит прямой $AB$. По условию задачи, точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, следовательно, вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, точка $E$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
Это означает, что прямая $CD$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Найдите отрезок BE.

Рассмотрим фигуру в плоскости $\beta$. Точка $E$ — это точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ACDB$. Рассмотрим треугольники $\triangle EAC$ и $\triangle EBD$.
1. $\angle E$ — общий для обоих треугольников.
2. Так как $AC \parallel BD$, а прямая $AE$ является секущей, то соответственные углы при параллельных прямых равны: $\angle EAC = \angle EBD$.
Следовательно, треугольники $\triangle EAC$ и $\triangle EBD$ подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{BE}{AE} = \frac{BD}{AC} $$ По условию задачи имеем: $AC = 8$ см, $BD = 6$ см, $AB = 4$ см.
Длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BE$: $AE = AB + BE = 4 + BE$.
Подставим известные значения в уравнение пропорции: $$ \frac{BE}{4 + BE} = \frac{6}{8} $$ Упростим дробь в правой части: $$ \frac{BE}{4 + BE} = \frac{3}{4} $$ Решим полученное уравнение относительно $BE$: $$ 4 \cdot BE = 3 \cdot (4 + BE) $$ $$ 4 \cdot BE = 12 + 3 \cdot BE $$ $$ 4 \cdot BE - 3 \cdot BE = 12 $$ $$ BE = 12 \text{ см} $$ Ответ: 12 см.