Номер 90, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 4. Тетраэдр и параллелепипед, дополнительные задачи. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 90, страница 34.

Условие.

90. Вершины А и В трапеции ABCD лежат в плоскости α, а вершины С и D не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая CD относительно плоскости α, если отрезок АВ является:

а) основанием трапеции;

б) боковой стороной трапеции?

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а)

По условию, вершины A и B трапеции ABCD лежат в плоскости $\alpha$. Это означает, что вся прямая AB, содержащая отрезок AB, также лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$). Вершины C и D не лежат в этой плоскости, следовательно, прямая CD не лежит в плоскости $\alpha$.

Если отрезок AB является основанием трапеции, то по определению трапеции другое ее основание, CD, параллельно основанию AB. Таким образом, прямая CD параллельна прямой AB ($CD \parallel AB$).

Мы имеем прямую CD, которая не лежит в плоскости $\alpha$, и она параллельна прямой AB, которая лежит в плоскости $\alpha$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Следовательно, прямая CD параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: прямая CD параллельна плоскости $\alpha$.

б)

Если отрезок AB является боковой стороной трапеции, то прямые AB и CD, содержащие боковые стороны, не параллельны (иначе фигура ABCD была бы параллелограммом, а не трапецией). Поскольку все вершины трапеции A, B, C, D лежат в одной плоскости (плоскости трапеции), то прямые AB и CD, лежащие в этой же плоскости и не будучи параллельными, пересекаются в некоторой точке, назовем ее M.

Прямая AB целиком лежит в плоскости $\alpha$, так как две ее точки (A и B) принадлежат этой плоскости. Точка пересечения M принадлежит прямой AB, следовательно, точка M также принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

В то же время, точка M принадлежит и прямой CD, так как является точкой пересечения прямых AB и CD.

Таким образом, прямая CD и плоскость $\alpha$ имеют одну общую точку M. По условию, точки C и D не лежат в плоскости $\alpha$, значит, прямая CD не может лежать в плоскости $\alpha$. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то они пересекаются в этой точке.

Следовательно, прямая CD пересекает плоскость $\alpha$.

Ответ: прямая CD пересекает плоскость $\alpha$.