Номер 45, страница 20 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

45. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен:

а) 50°;

б) 121°.

Обозначим плоскость параллелограмма $ABCD$ как $\alpha$.

Доказательство того, что прямые $a$ и $CD$ скрещивающиеся:

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости, то есть они не пересекаются и не параллельны.

1. Докажем, что $a$ и $CD$ не пересекаются.

   По условию, прямая $a$ не лежит в плоскости параллелограмма $\alpha$. Прямая $CD$ полностью лежит в плоскости $\alpha$. По условию, прямая $a$ параллельна стороне $BC$ ($a \parallel BC$), которая также лежит в плоскости $\alpha$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, $a \parallel \alpha$.

   Раз прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, она не имеет с ней общих точек. Поскольку прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $a$ не может пересечь прямую $CD$.

2. Докажем, что $a$ и $CD$ не параллельны.

   Предположим, что $a \parallel CD$. По условию мы знаем, что $a \parallel BC$. Из этих двух предположений по свойству транзитивности параллельных прямых следовало бы, что $BC \parallel CD$. Но $BC$ и $CD$ — это смежные стороны параллелограмма $ABCD$, они пересекаются в точке $C$ и не могут быть параллельными. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $a$ и $CD$ не параллельны.

Так как прямые $a$ и $CD$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися, что и требовалось доказать.

Нахождение угла между прямыми $a$ и $CD$:

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Поскольку по условию $a \parallel BC$, угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $CD$ равен углу между прямыми $BC$ и $CD$. Этот угол равен меньшему из двух смежных углов, образованных сторонами $BC$ и $CD$, то есть он равен $\angle BCD$ или $180^\circ - \angle BCD$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

а) Один из углов параллелограмма равен $50^\circ$.

Так как $50^\circ < 90^\circ$, это острый угол параллелограмма. Другой угол, прилежащий к той же стороне, будет тупым: $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Угол $\angle BCD$ может быть либо острым, либо тупым.

• Если $\angle BCD = 50^\circ$, то угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен $50^\circ$.
• Если $\angle BCD = 130^\circ$, то угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

В обоих случаях угол между прямыми $BC$ и $CD$, а значит и между прямыми $a$ и $CD$, равен $50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.

б) Один из углов параллелограмма равен $121^\circ$.

Так как $121^\circ > 90^\circ$, это тупой угол параллелограмма. Другой угол, прилежащий к той же стороне, будет острым: $180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$. Угол $\angle BCD$ может быть либо острым, либо тупым.

• Если $\angle BCD = 121^\circ$, то угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен меньшему из смежных углов: $180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$.
• Если $\angle BCD = 59^\circ$, то угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен $59^\circ$.

В обоих случаях угол между прямыми $BC$ и $CD$, а значит и между прямыми $a$ и $CD$, равен $59^\circ$.

Ответ: $59^\circ$.