Номер 38, страница 20 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD, а через вершину С — прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что:

а) прямые а и CD пересекаются;

б) а и b — скрещивающиеся прямые .

а) докажите, что прямые a и CD пересекаются;

1. Обозначим плоскость, в которой лежит ромб $ABCD$, как $\alpha$. Прямая $CD$ является стороной ромба, следовательно, она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($CD \subset \alpha$).

2. Прямая $a$ проходит через вершину $A$ ромба, которая принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). По условию, прямая $a$ параллельна диагонали $BD$ ($a \parallel BD$). Диагональ $BD$ также лежит в плоскости ромба $\alpha$ ($BD \subset \alpha$).

3. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если прямая проходит через точку плоскости параллельно другой прямой, лежащей в этой плоскости, то она сама целиком лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

4. Таким образом, обе прямые, $a$ и $CD$, лежат в одной плоскости $\alpha$.

5. Теперь докажем, что они не параллельны. Предположим обратное: $a \parallel CD$. Так как по условию $a \parallel BD$, то из нашего предположения по свойству транзитивности параллельных прямых следовало бы, что $CD \parallel BD$.

6. Однако прямые $CD$ и $BD$ не могут быть параллельны, так как они имеют общую точку $D$ (являются стороной и диагональю ромба). Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно. Следовательно, прямые $a$ и $CD$ не параллельны.

7. Поскольку прямые $a$ и $CD$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые a и CD пересекаются.

б) докажите, что a и b — скрещивающиеся прямые.

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Для доказательства воспользуемся методом от противного.

1. Пусть плоскость ромба $ABCD$ — это плоскость $\alpha$. Как было установлено в пункте а), прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

2. По условию, прямая $b$ проходит через точку $C$, которая также принадлежит плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$), но сама прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$).

3. Предположим, что прямые $a$ и $b$ лежат в некоторой общей плоскости $\beta$. Это означает, что $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

4. Так как $b \subset \beta$, то и все точки прямой $b$ принадлежат плоскости $\beta$. В частности, точка $C$ принадлежит плоскости $\beta$ ($C \in \beta$).

5. Итак, плоскость $\beta$ содержит прямую $a$ и точку $C$. Проверим, лежит ли точка $C$ на прямой $a$. Прямая $a$ проходит через точку $A$ и параллельна $BD$. Если бы точка $C$ лежала на прямой $a$, то прямая $AC$ совпадала бы с прямой $a$. В этом случае было бы $AC \parallel BD$. Но диагонали ромба пересекаются, а не параллельны. Значит, точка $C$ не лежит на прямой $a$ ($C \notin a$).

6. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Мы знаем, что и прямая $a$, и точка $C$ лежат в плоскости ромба $\alpha$. Следовательно, плоскость, определяемая прямой $a$ и точкой $C$, — это и есть плоскость $\alpha$.

7. Из нашего предположения следовало, что прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$, которая, как мы только что выяснили, должна совпадать с плоскостью $\alpha$. То есть $\beta = \alpha$.

8. Если $\beta = \alpha$, а по нашему предположению $b \subset \beta$, то получается, что $b \subset \alpha$. Это напрямую противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямая $b$ не лежит в плоскости ромба.

9. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости, неверно. По определению, прямые, не лежащие в одной плоскости, являются скрещивающимися.

Ответ: Доказано, что прямые a и b — скрещивающиеся прямые.