Номер 31, страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

31. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость α проходит также через середину стороны АС.

Доказательство:

Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, как $(ABC)$. Пусть $M$ – середина стороны $AB$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$, следовательно, $M \in \alpha$. Так как точка $M$ также принадлежит прямой $AB$, она принадлежит и плоскости $(ABC)$.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $(ABC)$ имеют общую точку $M$, они пересекаются. Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Обозначим эту прямую как $m$. Таким образом, $m = \alpha \cap (ABC)$, и точка $M$ лежит на этой прямой ($M \in m$).

По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BC$ ($\alpha \parallel BC$). Прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$. Используем свойство параллельных прямой и плоскости: если плоскость ($\alpha$) параллельна некоторой прямой ($BC$), то линия пересечения $m$ этой плоскости ($\alpha$) с любой другой плоскостью ($(ABC)$), содержащей данную прямую ($BC$), будет параллельна этой прямой. Следовательно, $m \parallel BC$.

Теперь рассмотрим ситуацию в плоскости треугольника $ABC$. Прямая $m$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ и параллельна стороне $BC$. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. Следовательно, прямая $m$ пересекает сторону $AC$ в ее середине.

Пусть $N$ – точка пересечения прямой $m$ и стороны $AC$. Тогда, согласно теореме, $N$ является серединой стороны $AC$ ($AN = NC$). Поскольку прямая $m$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ (по определению линии пересечения), то и точка $N$, принадлежащая прямой $m$, также принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы доказали, что плоскость $\alpha$ проходит через середину стороны $AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью треугольника $ABC$ проходит через середину стороны $AB$ и параллельна стороне $BC$. По теореме о средней линии треугольника, эта линия пересечения обязательно проходит через середину стороны $AC$. Следовательно, и плоскость $\alpha$ проходит через середину стороны $AC$.