Номер 26, страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

26. Сторона АС треугольника ABC параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $MBN$ воспользуемся признаком подобия по двум углам. Для этого необходимо показать, что два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN$. Угол $\angle B$ у них общий, так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$. Следовательно, $\angle ABC = \angle MBN$. Это первая пара равных углов.

2. Теперь докажем, что прямая $MN$ параллельна прямой $AC$.
Плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, обозначим как плоскость $(ABC)$. По условию, сторона $AC$ этого треугольника параллельна плоскости $\alpha$ ($AC \parallel \alpha$).
Стороны $AB$ и $BC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $M$ и $N$. Это означает, что точки $M$ и $N$ принадлежат как плоскости $(ABC)$ (поскольку лежат на ее сторонах), так и плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения плоскости $(ABC)$ и плоскости $\alpha$.

3. Согласно теореме из стереометрии: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
В нашем случае плоскость $(ABC)$ проходит через прямую $AC$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $MN$. Из теоремы следует, что $AC \parallel MN$.

4. Поскольку прямые $AC$ и $MN$ параллельны, то при пересечении их секущей $AB$ соответственные углы будут равны: $\angle BAC = \angle BMN$. Это вторая пара равных углов.

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $MBN$ есть две пары равных углов ($\angle ABC = \angle MBN$ и $\angle BAC = \angle BMN$). Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам), что и требовалось доказать.

Ответ:
Треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны. Доказательство основано на признаке подобия по двум углам:
1. Угол $\angle B$ является общим для треугольников $ABC$ и $MBN$.
2. Плоскость треугольника $(ABC)$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $MN$. Так как по условию $AC \parallel \alpha$ и прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$, то по свойству параллельных прямой и плоскости следует, что $AC \parallel MN$.
3. Из параллельности прямых $AC$ и $MN$ следует равенство соответственных углов при секущей $AB$: $\angle BAC = \angle BMN$.
4. Поскольку два угла треугольника $ABC$ соответственно равны двум углам треугольника $MBN$ ($\angle B$ — общий, $\angle BAC = \angle BMN$), то $\triangle ABC \sim \triangle MBN$ по первому признаку подобия.