Номер 21, страница 13 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

21. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.

Доказательство

По условию, треугольники $ABC$ и $ABD$ не лежат в одной плоскости. Это означает, что точки $A, B, C, D$ не являются компланарными, то есть не лежат в одной и той же плоскости. Эти четыре точки образуют вершины тетраэдра $ABCD$.

Обозначим плоскость, содержащую треугольник $ABC$, как $\alpha$, а плоскость, содержащую треугольник $ABD$, как $\beta$. Нам нужно доказать, что любая прямая $l$, параллельная отрезку $CD$ (то есть $l \parallel CD$), пересекает обе эти плоскости.

Для этого докажем, что прямая $l$ пересекает каждую из плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

1. Докажем, что прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha = (ABC)$.

Для доказательства пересечения прямой и плоскости достаточно показать, что они не параллельны. Мы докажем от противного, что прямая $CD$ не параллельна плоскости $\alpha$.

Предположим, что прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$ ($CD \parallel \alpha$).

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $A, C, D$. Обозначим ее $\gamma = (ACD)$. Эта плоскость содержит прямую $CD$. Так как точки $A$ и $C$ принадлежат и плоскости $\alpha$, и плоскости $\gamma$, то эти плоскости пересекаются по прямой $AC$.

Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

В нашем случае плоскость $\gamma=(ACD)$ проходит через прямую $CD$, и по нашему предположению $CD \parallel \alpha$. Значит, линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$, которой является прямая $AC$, должна быть параллельна прямой $CD$. То есть, $AC \parallel CD$.

Однако прямые $AC$ и $CD$ не могут быть параллельны, так как они имеют общую точку $C$ и не совпадают (поскольку точки $A, C, D$ являются вершинами грани тетраэдра и не лежат на одной прямой). Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным.

Следовательно, прямая $CD$ не параллельна плоскости $\alpha$.

По условию $l \parallel CD$. Если предположить, что $l \parallel \alpha$, то по определению параллельности прямой и плоскости в плоскости $\alpha$ нашлась бы прямая $m$, такая что $l \parallel m$. Тогда по свойству транзитивности параллельных прямых ($l \parallel CD$ и $l \parallel m$) следовало бы, что $CD \parallel m$, а значит $CD \parallel \alpha$. Это противоречит тому, что мы только что доказали.

Таким образом, прямая $l$ не параллельна плоскости $\alpha$. Прямая, не параллельная плоскости и не лежащая в ней, пересекает эту плоскость. Следовательно, прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha = (ABC)$.

2. Докажем, что прямая $l$ пересекает плоскость $\beta = (ABD)$.

Доказательство для плоскости $\beta$ проводится аналогично.

Предположим от противного, что прямая $CD$ параллельна плоскости $\beta = (ABD)$ ($CD \parallel \beta$).

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $B, C, D$. Обозначим ее $\delta = (BCD)$. Эта плоскость содержит прямую $CD$. Так как точки $B$ и $D$ принадлежат и плоскости $\beta$, и плоскости $\delta$, то эти плоскости пересекаются по прямой $BD$.

Применяя ту же теорему, что и в первой части, из предположения $CD \parallel \beta$ следует, что линия пересечения $BD$ должна быть параллельна прямой $CD$, то есть $BD \parallel CD$.

Это является противоречием, так как прямые $BD$ и $CD$ имеют общую точку $D$ и не совпадают (точки $B, C, D$ — вершины грани тетраэдра).

Следовательно, предположение неверно, и прямая $CD$ не параллельна плоскости $\beta$. Так как $l \parallel CD$, то и прямая $l$ не параллельна плоскости $\beta$.

Значит, прямая $l$ пересекает плоскость $\beta = (ABD)$.

Мы доказали, что любая прямая $l$, параллельная отрезку $CD$, пересекает и плоскость $(ABC)$, и плоскость $(ABD)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.