Номер 15, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Пусть даны три различные прямые $a$, $b$ и $c$, которые попарно пересекаются. Обозначим точки их пересечения следующим образом:
Прямая $a$ пересекает прямую $b$ в точке $C$.
Прямая $b$ пересекает прямую $c$ в точке $A$.
Прямая $a$ пересекает прямую $c$ в точке $B$.

Рассмотрим два возможных случая, которые полностью описывают все варианты взаимного расположения этих точек пересечения.

Случай 1: Точки пересечения $A$, $B$, $C$ не являются тремя различными точками.
Это означает, что как минимум две из этих точек совпадают. Для примера, предположим, что точки $A$ и $B$ совпадают, то есть $A = B$.
По определению, точка $A$ — это точка пересечения прямых $b$ и $c$, следовательно, она принадлежит обеим этим прямым ($A \in b$ и $A \in c$).
Точка $B$ — это точка пересечения прямых $a$ и $c$, следовательно, она принадлежит обеим этим прямым ($B \in a$ и $B \in c$).
Поскольку $A = B$, то эта общая точка принадлежит одновременно всем трем прямым: $a$, $b$ и $c$. Это означает, что три прямые имеют общую точку пересечения. Аналогичное рассуждение верно, если совпадают любые другие две точки ($A=C$ или $B=C$) или если все три точки совпадают ($A=B=C$). Таким образом, если точки пересечения не образуют треугольник (т.е. не все различны), то все три прямые пересекаются в одной общей точке. Это доказывает первую часть утверждения.

Случай 2: Точки пересечения $A$, $B$, $C$ являются тремя различными точками.
Рассмотрим две пересекающиеся прямые, например, $a$ и $b$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит одна, и притом только одна, плоскость. Обозначим эту плоскость греческой буквой $\alpha$. Таким образом, и прямая $a$, и прямая $b$ целиком лежат в плоскости $\alpha$.

Теперь определим положение третьей прямой $c$ относительно этой плоскости.
Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $B$. Так как прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ (как точка прямой $a$) также принадлежит плоскости $\alpha$.
Прямая $c$ пересекает прямую $b$ в точке $A$. Так как прямая $b$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ (как точка прямой $b$) также принадлежит плоскости $\alpha$.
В итоге мы имеем, что две различные точки ($A$ и $B$) прямой $c$ принадлежат плоскости $\alpha$. Согласно другой аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

В этом случае мы установили, что все три прямые, $a$, $b$ и $c$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Это доказывает вторую часть утверждения.

Так как мы рассмотрели все возможные конфигурации и в каждой из них доказали, что выполняется одно из условий задачи, то утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказательство основано на рассмотрении двух исчерпывающих случаев. Случай 1: Если точки попарного пересечения прямых не все различны (т.е. хотя бы две из них совпадают), то все три прямые проходят через одну общую точку. Случай 2: Если все три точки попарного пересечения различны, то они образуют треугольник. Через две любые из пересекающихся прямых (например, $a$ и $b$) можно провести единственную плоскость. Третья прямая ($c$) будет пересекать каждую из этих двух прямых в точках, которые уже лежат в этой плоскости. А так как две точки прямой $c$ лежат в плоскости, то и вся прямая $c$ лежит в этой плоскости. Следовательно, все три прямые лежат в одной плоскости. Таким образом, утверждение доказано.