Номер 12, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Введение - номер 12, страница 8.

12. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?

Да, данные плоскости пересекаются. Давайте разберем почему.

Обозначим плоскость, проходящую через точки $A, B, C$, как плоскость $\alpha$, и плоскость, проходящую через точки $A, B, D$, как плоскость $\beta$.

1. По определению, плоскость $\alpha$ содержит точки $A, B, C$. Следовательно, точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$. ($A \in \alpha$, $B \in \alpha$)

2. Аналогично, плоскость $\beta$ содержит точки $A, B, D$. Следовательно, точки $A$ и $B$ также принадлежат плоскости $\beta$. ($A \in \beta$, $B \in \beta$)

Таким образом, обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, имеют две общие точки: $A$ и $B$.

Согласно аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти две точки.

В нашем случае линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ будет прямая $AB$.

Важно также убедиться, что эти плоскости не совпадают. Если бы плоскости $(ABC)$ и $(ABD)$ совпадали, то все четыре точки $A, B, C, D$ лежали бы в одной плоскости. Однако по условию задачи это не так. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ являются различными и пересекаются.

Ответ: Да, плоскости, проходящие через точки $A, B, C$ и $A, B, D$, пересекаются. Линией их пересечения является прямая $AB$.