Номер 5, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Данная задача состоит из двух частей: доказательства существования плоскости и определения количества таких плоскостей.

Пусть нам даны три различные точки $A$, $B$ и $C$, которые лежат на одной прямой, обозначенной как $a$.

Для доказательства воспользуемся одной из основных аксиом стереометрии, которая гласит: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Рассмотрим нашу прямую $a$. В трехмерном пространстве всегда существует точка, не принадлежащая этой прямой. Выберем любую такую точку и назовем ее $D$. Таким образом, мы имеем прямую $a$ и точку $D$, где $D \notin a$.

Согласно вышеупомянутой аксиоме, через прямую $a$ и точку $D$ можно провести плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$.

По определению, если плоскость проходит через прямую, то она содержит все точки этой прямой. Так как плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, то точки $A$, $B$ и $C$, лежащие на этой прямой, также принадлежат плоскости $\alpha$.

Следовательно, мы доказали, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость.

Ответ: Утверждение доказано.

Как было установлено в первой части, любая плоскость, проходящая через три точки, лежащие на одной прямой $a$, должна содержать всю эту прямую. Это следует из аксиомы: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Следовательно, вопрос о количестве плоскостей, проходящих через три коллинеарные точки, эквивалентен вопросу о количестве плоскостей, которые можно провести через одну прямую.

Можно представить прямую $a$ как ось. Вокруг этой оси можно провести неограниченное число плоскостей. Это можно визуализировать на примере открытой книги, где переплет — это прямая, а каждая страница — это отдельная плоскость, проходящая через эту прямую. Поскольку количество "страниц", которые можно провести через переплет, бесконечно, то и количество плоскостей, проходящих через одну прямую, также бесконечно.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, в геометрии называется пучком плоскостей.

Ответ: Существует бесконечное множество таких плоскостей.