Номер 11, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Введение - номер 11, страница 8.

11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Дано:

Прямая $a$ и точка $M$, такая что точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$).

Доказать:

Все прямые, которые проходят через точку $M$ и пересекают прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Определим плоскость $\alpha$ как плоскость, проходящую через данную прямую $a$ и данную точку $M$. Существование и единственность такой плоскости гарантированы аксиомой.

2. Теперь докажем, что любая прямая, удовлетворяющая условиям задачи, лежит в этой плоскости $\alpha$.

3. Выберем произвольную прямую $b$, которая проходит через точку $M$ и пересекает прямую $a$. Пусть $P$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$. То есть, $P = a \cap b$.

4. Рассмотрим точки $M$ и $P$. Прямая $b$ проходит через обе эти точки. Точки $M$ и $P$ различны, так как по условию $M \notin a$, а точка $P$, как точка пересечения, лежит на прямой $a$ ($P \in a$).

5. Проверим принадлежность этих точек плоскости $\alpha$.

- Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$) по определению самой плоскости $\alpha$.

- Точка $P$ принадлежит прямой $a$ ($P \in a$). Так как вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то и любая её точка, включая точку $P$, также лежит в плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$).

6. Таким образом, две различные точки прямой $b$ (точки $M$ и $P$) лежат в плоскости $\alpha$.

7. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая целиком лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

8. Так как прямая $b$ была выбрана произвольно из множества всех прямых, удовлетворяющих условию, то наше рассуждение справедливо для каждой из них. Все они лежат в одной и той же плоскости $\alpha$, однозначно заданной прямой $a$ и точкой $M$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости (а именно, в плоскости, которая однозначно определяется исходной прямой и исходной точкой).