Страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

2. По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC₁ и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая AA₁; в) точки пересечения прямой МK с плоскостью ABD, прямых DK и ВР с плоскостью A₁B₁C₁; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА₁В₁ и ACD, РВ₁С₁ и ABC; д) точки пересечения прямых МK и DC, B₁C₁ и BP, C₁M и DC.

а) В плоскости $DCC_1$ (плоскость задней грани $DCC_1D_1$) лежат точки: $D, C, C_1, D_1, K, M$.
Плоскость $BQC$ проходит через точки $B, Q, C$. Поскольку точка $Q$ лежит на ребре $B_1C_1$, то эта плоскость совпадает с плоскостью боковой грани $BCC_1B_1$. В ней лежат точки: $B, C, C_1, B_1, Q, M$.
Ответ: В плоскости $DCC_1$ лежат точки $D, C, C_1, D_1, K, M$. В плоскости $BQC$ лежат точки $B, C, C_1, B_1, Q, M$.

б) Прямая $AA_1$ является общим ребром для передней грани $AA_1B_1B$ и боковой грани $AA_1D_1D$. Следовательно, она лежит в плоскостях этих граней.
Ответ: Плоскости $AA_1B_1$ и $AA_1D_1$.

в) - Пересечение прямой $MK$ с плоскостью $ABD$. Прямая $MK$ лежит в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Плоскость $ABD$ — это плоскость основания $ABCD$. Эти плоскости пересекаются по прямой $DC$. Следовательно, точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABD$ лежит на прямой $DC$. Это точка пересечения прямых $MK$ и $DC$.
- Пересечение прямой $DK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$. Прямая $DK$ лежит в плоскости $DCC_1D_1$. Плоскость $A_1B_1C_1$ — это плоскость верхнего основания. Эти плоскости пересекаются по прямой $D_1C_1$. Следовательно, точка пересечения прямой $DK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ является точкой пересечения прямых $DK$ и $D_1C_1$.
- Пересечение прямой $BP$ с плоскостью $A_1B_1C_1$. Точка $P$ принадлежит прямой $BP$. По условию, точка $P$ лежит на ребре $A_1D_1$, которое находится в плоскости $A_1B_1C_1$. Значит, точка $P$ принадлежит и прямой $BP$, и плоскости $A_1B_1C_1$, поэтому она и является их точкой пересечения.
Ответ: Точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABD$ – это точка пересечения прямых $MK$ и $DC$. Точка пересечения прямой $DK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ – это точка пересечения прямых $DK$ и $D_1C_1$. Точка пересечения прямой $BP$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ – это точка $P$.

г) - Пересечение плоскостей $AA_1B_1$ и $ACD$. Плоскость $AA_1B_1$ — это передняя грань $AA_1B_1B$, а плоскость $ACD$ — это нижнее основание $ABCD$. Они пересекаются по общему ребру $AB$.
- Пересечение плоскостей $PB_1C_1$ и $ABC$. Точки $P, B_1, C_1$ все лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ (так как $P \in A_1D_1$). Следовательно, плоскость $PB_1C_1$ совпадает с плоскостью верхнего основания. Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания. В призме плоскости оснований параллельны, поэтому они не пересекаются.
Ответ: Плоскости $AA_1B_1$ и $ACD$ пересекаются по прямой $AB$. Плоскости $PB_1C_1$ и $ABC$ не пересекаются, так как они параллельны.

д) - Пересечение прямых $MK$ и $DC$. Обе прямые лежат в одной плоскости $DCC_1D_1$. Судя по рисунку, они не параллельны (точки $K$ и $M$ находятся на разной высоте), значит, они пересекаются в одной точке.
- Пересечение прямых $B_1C_1$ и $BP$. Прямая $BP$ пересекает плоскость $A_1B_1C_1$, в которой лежит прямая $B_1C_1$, в точке $P$. Точка $P$ лежит на ребре $A_1D_1$. Так как ребра $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны и не совпадают, точка $P$ не лежит на прямой $B_1C_1$. Следовательно, прямые $B_1C_1$ и $BP$ не имеют общих точек и являются скрещивающимися.
- Пересечение прямых $C_1M$ и $DC$. Точки $C_1$ и $M$ лежат на ребре $CC_1$, поэтому прямая $C_1M$ совпадает с прямой $CC_1$. Прямые $CC_1$ и $DC$ — это смежные ребра, которые пересекаются в общей вершине $C$.
Ответ: Прямые $MK$ и $DC$ пересекаются в одной точке. Прямые $B_1C_1$ и $BP$ не пересекаются. Прямые $C_1M$ и $DC$ пересекаются в точке $C$.

3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

а) Это утверждение верно. Чтобы доказать это, рассмотрим два возможных случая расположения трех точек в пространстве.
Случай 1: Три точки лежат на одной прямой (коллинеарны). Через любую прямую можно провести бесконечное множество плоскостей (например, как страницы книги, вращающиеся вокруг переплета-прямой). Следовательно, для трех коллинеарных точек существует плоскость, в которой они лежат.
Случай 2: Три точки не лежат на одной прямой. Согласно одной из основных аксиом стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Таким образом, для любой тройки точек всегда найдется как минимум одна плоскость, в которой они все лежат.
Ответ: Верно.

б) Это утверждение неверно. Не любые четыре точки лежат в одной плоскости. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один контрпример. Возьмем три точки $A$, $B$, и $C$, не лежащие на одной прямой. Они задают единственную плоскость $\alpha$. Теперь выберем четвертую точку $D$ вне этой плоскости $\alpha$. Полученные четыре точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости. Классическим примером такого расположения точек являются вершины тетраэдра.
Ответ: Неверно.

в) Это утверждение неверно. Оно является слишком сильным и утверждает, что четыре точки никогда не могут лежать в одной плоскости. Это легко опровергнуть. Например, вершины любого плоского четырехугольника (квадрата, прямоугольника, трапеции) являются четырьмя точками, которые по определению лежат в одной плоскости.
Ответ: Неверно.

г) Это утверждение неверно из-за требования единственности для любых трех точек. Рассмотрим два случая:
Случай 1: Три точки не лежат на одной прямой. В этом случае, согласно аксиоме, через них действительно проходит единственная плоскость. Для таких точек утверждение справедливо.
Случай 2: Три точки лежат на одной прямой. Через прямую, на которой лежат эти точки, можно провести бесконечное множество плоскостей. Таким образом, плоскость, содержащая эти три точки, существует, но она не является единственной ("не только одна").
Поскольку утверждение должно быть верным для любого набора из трех точек, а для коллинеарных точек условие единственности не выполняется, все утверждение целиком является неверным.
Ответ: Неверно.

4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.

а) Допустим, что три точки из четырех, например $A$, $B$ и $C$, лежат на одной прямой $l$. Четвертая точка $D$ не может лежать на этой прямой, так как в этом случае все четыре точки лежали бы на одной прямой, а значит, и в одной плоскости (даже в бесконечном множестве плоскостей), что противоречит условию задачи.
Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Таким образом, через прямую $l$ (на которой лежат точки $A$, $B$, $C$) и точку $D$ (которая на ней не лежит) можно провести единственную плоскость $\alpha$.
В этой плоскости $\alpha$ будут находиться все четыре точки: $A$, $B$, $C$ (поскольку они принадлежат прямой $l$, лежащей в плоскости $\alpha$) и $D$ (по построению плоскости). Получаем, что все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Это противоречит исходному условию.
Следовательно, наше предположение было неверным.
Ответ: Нет, никакие три из данных точек не могут лежать на одной прямой.

б) Допустим, что прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в некоторой точке $M$.
Согласно теореме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\beta$.
Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$, то и точки $A$ и $B$, принадлежащие этой прямой, лежат в плоскости $\beta$.
Аналогично, поскольку прямая $CD$ лежит в плоскости $\beta$, то и точки $C$ и $D$ лежат в плоскости $\beta$.
В результате все четыре точки $A, B, C$ и $D$ оказываются в одной плоскости $\beta$. Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что точки не лежат в одной плоскости.
Следовательно, наше предположение о том, что прямые $AB$ и $CD$ пересекаются, неверно. Такие прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.
Ответ: Нет, прямые $AB$ и $CD$ не могут пересекаться.

5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Данная задача состоит из двух частей: доказательства существования плоскости и определения количества таких плоскостей.

Пусть нам даны три различные точки $A$, $B$ и $C$, которые лежат на одной прямой, обозначенной как $a$.

Для доказательства воспользуемся одной из основных аксиом стереометрии, которая гласит: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Рассмотрим нашу прямую $a$. В трехмерном пространстве всегда существует точка, не принадлежащая этой прямой. Выберем любую такую точку и назовем ее $D$. Таким образом, мы имеем прямую $a$ и точку $D$, где $D \notin a$.

Согласно вышеупомянутой аксиоме, через прямую $a$ и точку $D$ можно провести плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$.

По определению, если плоскость проходит через прямую, то она содержит все точки этой прямой. Так как плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, то точки $A$, $B$ и $C$, лежащие на этой прямой, также принадлежат плоскости $\alpha$.

Следовательно, мы доказали, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость.

Ответ: Утверждение доказано.

Как было установлено в первой части, любая плоскость, проходящая через три точки, лежащие на одной прямой $a$, должна содержать всю эту прямую. Это следует из аксиомы: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Следовательно, вопрос о количестве плоскостей, проходящих через три коллинеарные точки, эквивалентен вопросу о количестве плоскостей, которые можно провести через одну прямую.

Можно представить прямую $a$ как ось. Вокруг этой оси можно провести неограниченное число плоскостей. Это можно визуализировать на примере открытой книги, где переплет — это прямая, а каждая страница — это отдельная плоскость, проходящая через эту прямую. Поскольку количество "страниц", которые можно провести через переплет, бесконечно, то и количество плоскостей, проходящих через одну прямую, также бесконечно.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, в геометрии называется пучком плоскостей.

Ответ: Существует бесконечное множество таких плоскостей.

6. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости .

Для доказательства данного утверждения необходимо рассмотреть два возможных случая расположения трех данных точек в пространстве.

Пусть данные точки обозначены как $A$, $B$ и $C$. Отрезки, попарно соединяющие эти точки, — это $AB$, $BC$ и $AC$.

Случай 1: Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.

В этом случае точки $A$, $B$ и $C$ образуют вершины треугольника. Согласно основной аксиоме стереометрии (Аксиома 1), через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту единственную плоскость $\alpha$.

Таким образом, все три точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим отрезки, соединяющие эти точки:

• Отрезок $AB$: его концы, точки $A$ и $B$, лежат в плоскости $\alpha$. Согласно следствию из аксиом стереометрии (если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости), прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Так как отрезок $AB$ является частью прямой $AB$, он также лежит в плоскости $\alpha$.
• Отрезок $BC$: его концы, точки $B$ и $C$, лежат в плоскости $\alpha$. По аналогичной причине весь отрезок $BC$ лежит в плоскости $\alpha$.
• Отрезок $AC$: его концы, точки $A$ и $C$, лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, и отрезок $AC$ лежит в плоскости $\alpha$.

Получается, что все три отрезка $AB$, $BC$ и $AC$ лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Случай 2: Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Пусть все три точки лежат на некоторой прямой $l$. В этом случае отрезки $AB$, $BC$ и $AC$ также являются частями этой прямой $l$.

Согласно аксиомам стереометрии, через любую прямую в пространстве можно провести плоскость (на самом деле, таких плоскостей бесконечно много). Выберем любую плоскость $\beta$, которая содержит прямую $l$.

Поскольку вся прямая $l$ принадлежит плоскости $\beta$, то и все ее части, включая отрезки $AB$, $BC$ и $AC$, также принадлежат этой плоскости $\beta$.

Таким образом, и в этом случае все три отрезка лежат в одной плоскости.

Так как мы рассмотрели все возможные варианты расположения трех точек, мы доказали, что во всех случаях отрезки, попарно их соединяющие, лежат в одной плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Вне зависимости от того, лежат ли три данные точки на одной прямой или нет, три отрезка, попарно их соединяющие, всегда будут лежать в одной плоскости.

7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$.

Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость, содержащую прямые $a$ и $b$, как $\alpha$.

Теперь рассмотрим любую прямую $c$, которая удовлетворяет условиям задачи: она не проходит через точку $M$ и пересекает обе прямые $a$ и $b$.

Пусть точка $A$ является точкой пересечения прямой $c$ и прямой $a$ ($A = c \cap a$), а точка $B$ — точкой пересечения прямой $c$ и прямой $b$ ($B = c \cap b$).

Поскольку прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и любая её точка, включая точку $A$, принадлежит этой плоскости ($A \in \alpha$).

Аналогично, поскольку прямая $b$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ принадлежит этой плоскости ($B \in \alpha$).

Точки $A$ и $B$ — это две различные точки. Если бы они совпадали, то эта общая точка была бы точкой пересечения прямых $a$ и $b$, то есть точкой $M$. Но по условию прямая $c$ не проходит через точку $M$, следовательно, точки $A$ и $B$ не могут совпадать с $M$, а значит, и друг с другом. Таким образом, $A \neq B$.

Мы получили, что две различные точки $A$ и $B$ прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$.

По следствию из аксиом стереометрии, если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Следовательно, вся прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$.

Так как прямая $c$ была выбрана произвольно из всех прямых, удовлетворяющих условию, то все такие прямые лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Нет, не все прямые, проходящие через точку $M$, лежат в одной плоскости.

Две исходные прямые $a$ и $b$ проходят через точку $M$ и, как мы установили ранее, задают единственную плоскость $\alpha$.

Однако в трехмерном пространстве мы можем выбрать точку $P$, которая не принадлежит этой плоскости $\alpha$. Через две различные точки, $M$ и $P$, можно провести единственную прямую. Назовём эту прямую $d$.

Прямая $d$ проходит через точку $M$ по построению. Но она не может лежать в плоскости $\alpha$, так как содержит точку $P$, которая не лежит в плоскости $\alpha$. Если бы прямая $d$ лежала в плоскости $\alpha$, то и все её точки, включая $P$, должны были бы лежать в $\alpha$, что противоречит нашему выбору точки $P$.

Таким образом, мы нашли прямую $d$, которая проходит через точку $M$, но не лежит в той же плоскости, что и прямые $a$ и $b$. Следовательно, не все прямые, проходящие через точку $M$, лежат в одной плоскости. Множество всех прямых, проходящих через одну точку в пространстве, не является плоской фигурой.

Ответ: Нет, не лежат.

8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

а) Утверждение, что если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости, неверно.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример. Пусть дана некоторая плоскость $ \alpha $. Выберем в ней две различные точки $ A $ и $ B $. Через эти две точки можно провести бесконечное множество окружностей. Отрезок $ AB $ будет хордой для каждой из них.

Окружность является плоской фигурой и лежит в некоторой плоскости $ \pi $. Если плоскость окружности $ \pi $ совпадает с плоскостью $ \alpha $, то вся окружность лежит в $ \alpha $. Однако мы можем представить ситуацию, когда плоскость $ \pi $ не совпадает с $ \alpha $, а пересекает ее. Поскольку точки $ A $ и $ B $ принадлежат обеим плоскостям, то линия пересечения плоскостей $ \pi $ и $ \alpha $ — это прямая, проходящая через точки $ A $ и $ B $.

Представьте, что плоскость $ \alpha $ — это поверхность стола. Возьмем обруч (окружность) и поставим его на стол так, чтобы он опирался на стол ребром. Тогда обруч будет пересекаться с плоскостью стола только по двум точкам. При этом сам обруч не будет полностью лежать в плоскости стола. Таким образом, существование двух общих точек у окружности и плоскости не гарантирует, что вся окружность принадлежит этой плоскости.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

б) Утверждение, что если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости, верно.

Рассмотрим три точки $ A $, $ B $ и $ C $, принадлежащие одной окружности и одновременно лежащие в некоторой плоскости $ \alpha $.

1. Поскольку точки $ A $, $ B $ и $ C $ лежат на одной окружности, они не могут лежать на одной прямой. Это следует из того, что прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек.

2. Согласно основной аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Таким образом, точки $ A $, $ B $ и $ C $ однозначно определяют плоскость. Назовем ее $ \pi $.

3. Окружность по своему определению является плоской фигурой. Окружность, которая проходит через точки $ A $, $ B $ и $ C $, должна целиком лежать в плоскости $ \pi $, которую эти точки задают.

4. По условию задачи, точки $ A $, $ B $ и $ C $ лежат в плоскости $ \alpha $. Так как через три неколлинеарные точки проходит только одна плоскость, то плоскость $ \alpha $ и плоскость $ \pi $ должны совпадать ($ \alpha = \pi $).

5. Из этого следует, что если окружность целиком лежит в плоскости $ \pi $, а плоскость $ \pi $ идентична плоскости $ \alpha $, то и вся окружность лежит в плоскости $ \alpha $.

Ответ: Да, утверждение верно.

9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.

Да, две другие вершины параллелограмма также лежат в плоскости $\alpha$.

Обоснование

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Пусть смежные вершины $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. По условию, точка $O$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим вершину $C$, которая является противоположной вершине $A$. По свойству диагоналей параллелограмма, точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой.

Согласно основной аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Поскольку точки $A$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$, то вся прямая $AC$, на которой они лежат, также принадлежит плоскости $\alpha$. Так как вершина $C$ является точкой прямой $AC$, то и она лежит в плоскости $\alpha$.

Аналогичные рассуждения проведем для вершины $D$, которая противоположна вершине $B$. Точки $B$, $O$ и $D$ лежат на одной прямой (диагонали $BD$). Поскольку точки $B$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $BD$ лежит в этой плоскости. Следовательно, вершина $D$, принадлежащая этой прямой, также лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы доказали, что две другие вершины параллелограмма ($C$ и $D$) лежат в той же плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, две другие вершины параллелограмма лежат в плоскости $\alpha$.

10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника?

а) Да, это утверждение верно.
Обозначим плоскость, в которой лежит данный треугольник, как $\alpha$. Стороны треугольника являются отрезками, которые полностью принадлежат этой плоскости.
Пусть прямая $l$ пересекает две стороны треугольника, например, в точках $M$ и $N$. Поскольку точка $M$ лежит на одной из сторон треугольника, она принадлежит плоскости $\alpha$. Аналогично, точка $N$, лежащая на другой стороне треугольника, также принадлежит плоскости $\alpha$.
Таким образом, две различные точки $M$ и $N$ прямой $l$ одновременно принадлежат плоскости $\alpha$.
Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $l$ лежит в плоскости данного треугольника.
Ответ: Да, верно.

б) Нет, это утверждение не всегда верно.
Пусть прямая $p$ проходит через одну из вершин треугольника, например, через вершину $A$. Это означает, что прямая $p$ и плоскость треугольника $\alpha$ имеют одну общую точку $A$.
Однако одна общая точка не гарантирует, что вся прямая лежит в плоскости. Прямая может пересекать плоскость в одной точке.
Например, можно провести через вершину $A$ прямую, которая не лежит в плоскости $\alpha$ (например, прямую, перпендикулярную плоскости треугольника). Такая прямая будет проходить через вершину треугольника, но не будет лежать в его плоскости.
Таким образом, тот факт, что прямая проходит через одну из вершин треугольника, недостаточен для утверждения, что она лежит в плоскости этого треугольника.
Ответ: Нет, не обязательно.

11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Дано:

Прямая $a$ и точка $M$, такая что точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$).

Доказать:

Все прямые, которые проходят через точку $M$ и пересекают прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Определим плоскость $\alpha$ как плоскость, проходящую через данную прямую $a$ и данную точку $M$. Существование и единственность такой плоскости гарантированы аксиомой.

2. Теперь докажем, что любая прямая, удовлетворяющая условиям задачи, лежит в этой плоскости $\alpha$.

3. Выберем произвольную прямую $b$, которая проходит через точку $M$ и пересекает прямую $a$. Пусть $P$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$. То есть, $P = a \cap b$.

4. Рассмотрим точки $M$ и $P$. Прямая $b$ проходит через обе эти точки. Точки $M$ и $P$ различны, так как по условию $M \notin a$, а точка $P$, как точка пересечения, лежит на прямой $a$ ($P \in a$).

5. Проверим принадлежность этих точек плоскости $\alpha$.

- Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$) по определению самой плоскости $\alpha$.

- Точка $P$ принадлежит прямой $a$ ($P \in a$). Так как вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то и любая её точка, включая точку $P$, также лежит в плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$).

6. Таким образом, две различные точки прямой $b$ (точки $M$ и $P$) лежат в плоскости $\alpha$.

7. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая целиком лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

8. Так как прямая $b$ была выбрана произвольно из множества всех прямых, удовлетворяющих условию, то наше рассуждение справедливо для каждой из них. Все они лежат в одной и той же плоскости $\alpha$, однозначно заданной прямой $a$ и точкой $M$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости (а именно, в плоскости, которая однозначно определяется исходной прямой и исходной точкой).

12. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?

Да, данные плоскости пересекаются. Давайте разберем почему.

Обозначим плоскость, проходящую через точки $A, B, C$, как плоскость $\alpha$, и плоскость, проходящую через точки $A, B, D$, как плоскость $\beta$.

1. По определению, плоскость $\alpha$ содержит точки $A, B, C$. Следовательно, точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$. ($A \in \alpha$, $B \in \alpha$)

2. Аналогично, плоскость $\beta$ содержит точки $A, B, D$. Следовательно, точки $A$ и $B$ также принадлежат плоскости $\beta$. ($A \in \beta$, $B \in \beta$)

Таким образом, обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, имеют две общие точки: $A$ и $B$.

Согласно аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти две точки.

В нашем случае линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ будет прямая $AB$.

Важно также убедиться, что эти плоскости не совпадают. Если бы плоскости $(ABC)$ и $(ABD)$ совпадали, то все четыре точки $A, B, C, D$ лежали бы в одной плоскости. Однако по условию задачи это не так. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ являются различными и пересекаются.

Ответ: Да, плоскости, проходящие через точки $A, B, C$ и $A, B, D$, пересекаются. Линией их пересечения является прямая $AB$.

13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?

а) Нет, две плоскости не могут иметь только одну общую точку. Это следует из аксиомы стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Обозначим плоскости как $\alpha$ и $\beta$. Если у них есть общая точка $A$, то они пересекаются по некоторой прямой $l$, причем $A \in l$. Все точки прямой $l$ являются общими для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Поскольку любая прямая содержит бесконечное множество точек, то у плоскостей не может быть только одна общая точка. Возможны три случая взаимного расположения двух плоскостей: у них нет общих точек (они параллельны), все их точки общие (они совпадают), либо их общие точки образуют прямую (они пересекаются). Ответ: нет.

б) Нет, две плоскости не могут иметь только две общие точки. Допустим, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют две общие точки, назовем их $A$ и $B$. Согласно другой аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, вся прямая $AB$ принадлежит как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$. Это означает, что прямая $AB$ является линией пересечения этих двух плоскостей. Так как прямая содержит бесконечное множество точек, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют бесконечно много общих точек, а не только две. Ответ: нет.

в) Да, две плоскости могут иметь только одну общую прямую. Это стандартный случай пересекающихся плоскостей. Если две различные плоскости не параллельны и не совпадают, они пересекаются, и их пересечением является единственная прямая. Например, плоскость стены и плоскость пола в комнате пересекаются по одной прямой. Две различные плоскости не могут пересекаться по двум или более прямым, так как если бы они имели две общие прямые (пересекающиеся или параллельные), они бы совпадали, потому что две пересекающиеся или две параллельные прямые однозначно задают плоскость. Таким образом, две различные плоскости могут иметь в качестве пересечения только одну прямую. Ответ: да.

14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Для решения данной задачи необходимо определить, сколько различных плоскостей можно провести через данные прямые. Воспользуемся одной из аксиом стереометрии: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

По условию, у нас есть три прямые, которые проходят через одну общую точку. Это означает, что любые две из этих прямых являются пересекающимися. Следовательно, каждая пара прямых однозначно определяет одну плоскость.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти, сколько различных пар можно составить из трех прямых. Это является классической комбинаторной задачей на нахождение числа сочетаний из 3 элементов по 2.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=3$ (общее количество прямых), а $k=2$ (количество прямых в одной паре, необходимое для задания плоскости). Подставим значения в формулу:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

Это означает, что мы можем сформировать 3 уникальные пары прямых. Теперь необходимо рассмотреть, будут ли плоскости, определенные этими парами, различными.

Возможны два случая:

1. Общий случай: Три прямые не лежат в одной плоскости (некомпланарны). Например, как ребра куба, выходящие из одной вершины. В этом случае каждая из трех пар прямых задает свою уникальную плоскость. Таким образом, мы получим 3 различные плоскости.
2. Частный случай: Все три прямые лежат в одной плоскости (компланарны). В этом случае, какую бы пару прямых мы ни взяли, они будут определять одну и ту же плоскость, в которой они все лежат. Таким образом, мы получим только 1 плоскость.

В стандартных формулировках подобных задач, если не оговорено иное, рассматривается общий случай. Следовательно, мы исходим из того, что три прямые не лежат в одной плоскости.

Ответ: 3.

15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Пусть даны три различные прямые $a$, $b$ и $c$, которые попарно пересекаются. Обозначим точки их пересечения следующим образом:
Прямая $a$ пересекает прямую $b$ в точке $C$.
Прямая $b$ пересекает прямую $c$ в точке $A$.
Прямая $a$ пересекает прямую $c$ в точке $B$.

Рассмотрим два возможных случая, которые полностью описывают все варианты взаимного расположения этих точек пересечения.

Случай 1: Точки пересечения $A$, $B$, $C$ не являются тремя различными точками.
Это означает, что как минимум две из этих точек совпадают. Для примера, предположим, что точки $A$ и $B$ совпадают, то есть $A = B$.
По определению, точка $A$ — это точка пересечения прямых $b$ и $c$, следовательно, она принадлежит обеим этим прямым ($A \in b$ и $A \in c$).
Точка $B$ — это точка пересечения прямых $a$ и $c$, следовательно, она принадлежит обеим этим прямым ($B \in a$ и $B \in c$).
Поскольку $A = B$, то эта общая точка принадлежит одновременно всем трем прямым: $a$, $b$ и $c$. Это означает, что три прямые имеют общую точку пересечения. Аналогичное рассуждение верно, если совпадают любые другие две точки ($A=C$ или $B=C$) или если все три точки совпадают ($A=B=C$). Таким образом, если точки пересечения не образуют треугольник (т.е. не все различны), то все три прямые пересекаются в одной общей точке. Это доказывает первую часть утверждения.

Случай 2: Точки пересечения $A$, $B$, $C$ являются тремя различными точками.
Рассмотрим две пересекающиеся прямые, например, $a$ и $b$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит одна, и притом только одна, плоскость. Обозначим эту плоскость греческой буквой $\alpha$. Таким образом, и прямая $a$, и прямая $b$ целиком лежат в плоскости $\alpha$.

Теперь определим положение третьей прямой $c$ относительно этой плоскости.
Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $B$. Так как прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ (как точка прямой $a$) также принадлежит плоскости $\alpha$.
Прямая $c$ пересекает прямую $b$ в точке $A$. Так как прямая $b$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ (как точка прямой $b$) также принадлежит плоскости $\alpha$.
В итоге мы имеем, что две различные точки ($A$ и $B$) прямой $c$ принадлежат плоскости $\alpha$. Согласно другой аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

В этом случае мы установили, что все три прямые, $a$, $b$ и $c$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Это доказывает вторую часть утверждения.

Так как мы рассмотрели все возможные конфигурации и в каждой из них доказали, что выполняется одно из условий задачи, то утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказательство основано на рассмотрении двух исчерпывающих случаев. Случай 1: Если точки попарного пересечения прямых не все различны (т.е. хотя бы две из них совпадают), то все три прямые проходят через одну общую точку. Случай 2: Если все три точки попарного пересечения различны, то они образуют треугольник. Через две любые из пересекающихся прямых (например, $a$ и $b$) можно провести единственную плоскость. Третья прямая ($c$) будет пересекать каждую из этих двух прямых в точках, которые уже лежат в этой плоскости. А так как две точки прямой $c$ лежат в плоскости, то и вся прямая $c$ лежит в этой плоскости. Следовательно, все три прямые лежат в одной плоскости. Таким образом, утверждение доказано.