Номер 8, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

а) Утверждение, что если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости, неверно.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример. Пусть дана некоторая плоскость $ \alpha $. Выберем в ней две различные точки $ A $ и $ B $. Через эти две точки можно провести бесконечное множество окружностей. Отрезок $ AB $ будет хордой для каждой из них.

Окружность является плоской фигурой и лежит в некоторой плоскости $ \pi $. Если плоскость окружности $ \pi $ совпадает с плоскостью $ \alpha $, то вся окружность лежит в $ \alpha $. Однако мы можем представить ситуацию, когда плоскость $ \pi $ не совпадает с $ \alpha $, а пересекает ее. Поскольку точки $ A $ и $ B $ принадлежат обеим плоскостям, то линия пересечения плоскостей $ \pi $ и $ \alpha $ — это прямая, проходящая через точки $ A $ и $ B $.

Представьте, что плоскость $ \alpha $ — это поверхность стола. Возьмем обруч (окружность) и поставим его на стол так, чтобы он опирался на стол ребром. Тогда обруч будет пересекаться с плоскостью стола только по двум точкам. При этом сам обруч не будет полностью лежать в плоскости стола. Таким образом, существование двух общих точек у окружности и плоскости не гарантирует, что вся окружность принадлежит этой плоскости.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

б) Утверждение, что если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости, верно.

Рассмотрим три точки $ A $, $ B $ и $ C $, принадлежащие одной окружности и одновременно лежащие в некоторой плоскости $ \alpha $.

1. Поскольку точки $ A $, $ B $ и $ C $ лежат на одной окружности, они не могут лежать на одной прямой. Это следует из того, что прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек.

2. Согласно основной аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Таким образом, точки $ A $, $ B $ и $ C $ однозначно определяют плоскость. Назовем ее $ \pi $.

3. Окружность по своему определению является плоской фигурой. Окружность, которая проходит через точки $ A $, $ B $ и $ C $, должна целиком лежать в плоскости $ \pi $, которую эти точки задают.

4. По условию задачи, точки $ A $, $ B $ и $ C $ лежат в плоскости $ \alpha $. Так как через три неколлинеарные точки проходит только одна плоскость, то плоскость $ \alpha $ и плоскость $ \pi $ должны совпадать ($ \alpha = \pi $).

5. Из этого следует, что если окружность целиком лежит в плоскости $ \pi $, а плоскость $ \pi $ идентична плоскости $ \alpha $, то и вся окружность лежит в плоскости $ \alpha $.

Ответ: Да, утверждение верно.