Номер 13, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Введение - номер 13, страница 8.

13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?

а) Нет, две плоскости не могут иметь только одну общую точку. Это следует из аксиомы стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Обозначим плоскости как $\alpha$ и $\beta$. Если у них есть общая точка $A$, то они пересекаются по некоторой прямой $l$, причем $A \in l$. Все точки прямой $l$ являются общими для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Поскольку любая прямая содержит бесконечное множество точек, то у плоскостей не может быть только одна общая точка. Возможны три случая взаимного расположения двух плоскостей: у них нет общих точек (они параллельны), все их точки общие (они совпадают), либо их общие точки образуют прямую (они пересекаются). Ответ: нет.

б) Нет, две плоскости не могут иметь только две общие точки. Допустим, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют две общие точки, назовем их $A$ и $B$. Согласно другой аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, вся прямая $AB$ принадлежит как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$. Это означает, что прямая $AB$ является линией пересечения этих двух плоскостей. Так как прямая содержит бесконечное множество точек, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют бесконечно много общих точек, а не только две. Ответ: нет.

в) Да, две плоскости могут иметь только одну общую прямую. Это стандартный случай пересекающихся плоскостей. Если две различные плоскости не параллельны и не совпадают, они пересекаются, и их пересечением является единственная прямая. Например, плоскость стены и плоскость пола в комнате пересекаются по одной прямой. Две различные плоскости не могут пересекаться по двум или более прямым, так как если бы они имели две общие прямые (пересекающиеся или параллельные), они бы совпадали, потому что две пересекающиеся или две параллельные прямые однозначно задают плоскость. Таким образом, две различные плоскости могут иметь в качестве пересечения только одну прямую. Ответ: да.