Номер 18, страница 13 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

18. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка СС₁, если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ₁ = 7 см; б) АС : СВ = 3 : 2 и ВВ₁ = 20 см.

а)

По условию задачи, точка A лежит в плоскости (назовем ее $\alpha$), а через точки B и C проведены параллельные прямые, пересекающие эту плоскость в точках $B_1$ и $C_1$. Это означает, что отрезки $BB_1$ и $CC_1$ параллельны. Также можно утверждать, что расстояние от точки A до плоскости $\alpha$ равно нулю.

Рассмотрим плоскость, которая проходит через прямую AB и параллельные прямые $BB_1$ и $CC_1$. Точки A, B, C, $B_1$ и $C_1$ лежат в этой одной плоскости. В этой плоскости мы имеем треугольник $ABB_1$ (так как "отрезок" $AA_1$ имеет нулевую длину). Отрезок $CC_1$ соединяет сторону AB и сторону $AB_1$ и параллелен основанию $BB_1$.

Из-за того, что $CC_1 \parallel BB_1$, треугольник $ACC_1$ подобен треугольнику $ABB_1$ ($\triangle ACC_1 \sim \triangle ABB_1$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $ \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} $

Отсюда можно найти длину отрезка $CC_1$: $ CC_1 = BB_1 \cdot \frac{AC}{AB} $

В данном случае, точка C является серединой отрезка AB, поэтому $AC = \frac{1}{2}AB$, и отношение $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$. Длина отрезка $BB_1$ дана и равна 7 см.

Подставляя эти значения в формулу, получаем: $ CC_1 = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5 $ см.

Ответ: 3.5 см.

б)

Мы используем ту же геометрическую модель и ту же формулу, которая была выведена из подобия треугольников $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$ в пункте а): $ CC_1 = BB_1 \cdot \frac{AC}{AB} $

По условию дано, что $AC:CB = 3:2$. Это означает, что отрезок AC составляет 3 части, а отрезок CB — 2 части от некоторой общей меры. Весь отрезок AB, таким образом, состоит из $3 + 2 = 5$ таких частей.

Следовательно, отношение длины отрезка AC к длине всего отрезка AB равно: $ \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} $

Длина отрезка $BB_1$ по условию равна 20 см. Подставим известные значения в нашу формулу: $ CC_1 = 20 \cdot \frac{3}{5} = \frac{20 \cdot 3}{5} = 4 \cdot 3 = 12 $ см.

Ответ: 12 см.