Страница 13 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Параллельные прямые а и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости α.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся одной из ключевых аксиом стереометрии: если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат этой плоскости.

По условию задачи, прямая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$. Обозначим точки пересечения следующим образом:

• Пусть $A$ — точка пересечения прямой $c$ и прямой $a$. То есть, $A = c \cap a$.
• Пусть $B$ — точка пересечения прямой $c$ и прямой $b$. То есть, $B = c \cap b$.

Рассмотрим принадлежность этих точек плоскости $\alpha$:

1. Точка $A$ принадлежит прямой $a$ ($A \in a$). Поскольку по условию прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то и любая её точка, включая точку $A$, также лежит в этой плоскости. Следовательно, $A \in \alpha$.

2. Аналогично, точка $B$ принадлежит прямой $b$ ($B \in b$). Поскольку по условию прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), то и точка $B$ лежит в этой плоскости. Следовательно, $B \in \alpha$.

Так как прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), они не имеют общих точек. Это означает, что точки их пересечения с прямой $c$, то есть точки $A$ и $B$, различны ($A \neq B$).

Таким образом, мы установили, что две различные точки $A$ и $B$, принадлежащие прямой $c$, одновременно лежат в плоскости $\alpha$.

Исходя из аксиомы, упомянутой в начале, если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $c$, пересекающая параллельные прямые $a$ и $b$, проходит через две различные точки $A$ и $B$, где $A \in a$ и $B \in b$. Так как прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то и точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, прямая, проходящая через две точки, лежащие в плоскости, целиком принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$.

17. На рисунке 17 точки М, N, Q и Р — середины отрезков DB, DC, АС и АВ. Найдите периметр четырёхугольника MNQP, если AD = 12 см, ВС = 14 см.

Периметр четырехугольника $MNQP$ равен сумме длин его сторон: $P_{MNQP} = MN + NQ + QP + PM$. Найдем длину каждой стороны, используя свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Рассмотрим треугольник $DBC$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $DB$ и $DC$ соответственно. Следовательно, отрезок $MN$ — это средняя линия треугольника $DBC$.
По свойству средней линии: $MN = \frac{1}{2} BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $P$ и $Q$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Следовательно, отрезок $PQ$ (или $QP$) — это средняя линия треугольника $ABC$.
По свойству средней линии: $QP = \frac{1}{2} BC$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Точки $N$ и $Q$ являются серединами сторон $DC$ и $AC$ соответственно. Следовательно, отрезок $NQ$ — это средняя линия треугольника $ADC$.
По свойству средней линии: $NQ = \frac{1}{2} AD$.

Рассмотрим треугольник $ADB$. Точки $M$ и $P$ являются серединами сторон $DB$ и $AB$ соответственно. Следовательно, отрезок $MP$ (или $PM$) — это средняя линия треугольника $ADB$.
По свойству средней линии: $PM = \frac{1}{2} AD$.

Теперь найдем периметр четырехугольника $MNQP$, подставив найденные значения длин его сторон:
$P_{MNQP} = MN + NQ + QP + PM = \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AD$
Сгруппируем слагаемые:
$P_{MNQP} = (\frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} BC) + (\frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} AD) = BC + AD$

Подставим известные из условия значения $AD = 12$ см и $BC = 14$ см:
$P_{MNQP} = 14 + 12 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

18. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка СС₁, если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ₁ = 7 см; б) АС : СВ = 3 : 2 и ВВ₁ = 20 см.

а)

По условию задачи, точка A лежит в плоскости (назовем ее $\alpha$), а через точки B и C проведены параллельные прямые, пересекающие эту плоскость в точках $B_1$ и $C_1$. Это означает, что отрезки $BB_1$ и $CC_1$ параллельны. Также можно утверждать, что расстояние от точки A до плоскости $\alpha$ равно нулю.

Рассмотрим плоскость, которая проходит через прямую AB и параллельные прямые $BB_1$ и $CC_1$. Точки A, B, C, $B_1$ и $C_1$ лежат в этой одной плоскости. В этой плоскости мы имеем треугольник $ABB_1$ (так как "отрезок" $AA_1$ имеет нулевую длину). Отрезок $CC_1$ соединяет сторону AB и сторону $AB_1$ и параллелен основанию $BB_1$.

Из-за того, что $CC_1 \parallel BB_1$, треугольник $ACC_1$ подобен треугольнику $ABB_1$ ($\triangle ACC_1 \sim \triangle ABB_1$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $ \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} $

Отсюда можно найти длину отрезка $CC_1$: $ CC_1 = BB_1 \cdot \frac{AC}{AB} $

В данном случае, точка C является серединой отрезка AB, поэтому $AC = \frac{1}{2}AB$, и отношение $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$. Длина отрезка $BB_1$ дана и равна 7 см.

Подставляя эти значения в формулу, получаем: $ CC_1 = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5 $ см.

Ответ: 3.5 см.

б)

Мы используем ту же геометрическую модель и ту же формулу, которая была выведена из подобия треугольников $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$ в пункте а): $ CC_1 = BB_1 \cdot \frac{AC}{AB} $

По условию дано, что $AC:CB = 3:2$. Это означает, что отрезок AC составляет 3 части, а отрезок CB — 2 части от некоторой общей меры. Весь отрезок AB, таким образом, состоит из $3 + 2 = 5$ таких частей.

Следовательно, отношение длины отрезка AC к длине всего отрезка AB равно: $ \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} $

Длина отрезка $BB_1$ по условию равна 20 см. Подставим известные значения в нашу формулу: $ CC_1 = 20 \cdot \frac{3}{5} = \frac{20 \cdot 3}{5} = 4 \cdot 3 = 12 $ см.

Ответ: 12 см.

19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его противолежащие стороны попарно параллельны. Отсюда следуют два ключевых для решения факта:
1. Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$).
2. Прямая $DC$ параллельна прямой $AB$ ($DC \parallel AB$).

Для доказательства утверждения воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость.

Прямая AD
Из условия задачи известно, что сторона $BC$ (а значит, и содержащая ее прямая) пересекает плоскость $\alpha$. Так как прямая $AD$ параллельна прямой $BC$, то на основании приведенной теоремы можно утверждать, что прямая $AD$ также пересекает плоскость $\alpha$.

Прямая DC
Аналогично, по условию задачи, сторона $AB$ (и содержащая ее прямая) пересекает плоскость $\alpha$. Так как прямая $DC$ параллельна прямой $AB$, то по той же самой теореме прямая $DC$ также пересекает плоскость $\alpha$.

Таким образом, доказано, что обе прямые, $AD$ и $DC$, пересекают плоскость $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

20. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Для решения этой задачи воспользуемся основными определениями и теоремами стереометрии.

Пусть дана трапеция, её основания лежат на прямых $a$ и $b$, а средняя линия — на прямой $m$. По условию, прямая $m$, содержащая среднюю линию, лежит в плоскости $\alpha$, что записывается как $m \subset \alpha$.

Из свойств трапеции известно, что её средняя линия параллельна обоим основаниям. Таким образом, мы имеем следующие соотношения параллельности:

• $a \parallel m$
• $b \parallel m$

Рассмотрим взаимное расположение прямой $a$ (содержащей одно из оснований) и плоскости $\alpha$. У нас есть прямая $a$, которая параллельна прямой $m$, в то время как прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Из этого следует, что для прямой и плоскости возможны два случая:

1. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
2. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

В обоих случаях прямая $a$ не пересекает плоскость $\alpha$ (то есть не имеет с ней ровно одной общей точки).

Аналогичное рассуждение применимо и к прямой $b$, содержащей второе основание. Поскольку $b \parallel m$ и $m \subset \alpha$, прямая $b$ также либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней. Следовательно, прямая $b$ также не пересекает плоскость $\alpha$.

Таким образом, ни одна из прямых, содержащих основания трапеции, не может пересекать плоскость $\alpha$.

Ответ: Нет, прямые, содержащие основания трапеции, не пересекают плоскость $\alpha$. Обоснование заключается в том, что основания трапеции по свойству средней линии параллельны ей. Поскольку средняя линия, по условию, лежит в плоскости $\alpha$, то и прямые, содержащие основания, согласно признаку параллельности прямой и плоскости, либо параллельны плоскости $\alpha$, либо лежат в ней. Ни в том, ни в другом случае они не пересекают плоскость (в смысле наличия единственной общей точки).

21. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.

Доказательство

По условию, треугольники $ABC$ и $ABD$ не лежат в одной плоскости. Это означает, что точки $A, B, C, D$ не являются компланарными, то есть не лежат в одной и той же плоскости. Эти четыре точки образуют вершины тетраэдра $ABCD$.

Обозначим плоскость, содержащую треугольник $ABC$, как $\alpha$, а плоскость, содержащую треугольник $ABD$, как $\beta$. Нам нужно доказать, что любая прямая $l$, параллельная отрезку $CD$ (то есть $l \parallel CD$), пересекает обе эти плоскости.

Для этого докажем, что прямая $l$ пересекает каждую из плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

1. Докажем, что прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha = (ABC)$.

Для доказательства пересечения прямой и плоскости достаточно показать, что они не параллельны. Мы докажем от противного, что прямая $CD$ не параллельна плоскости $\alpha$.

Предположим, что прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$ ($CD \parallel \alpha$).

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $A, C, D$. Обозначим ее $\gamma = (ACD)$. Эта плоскость содержит прямую $CD$. Так как точки $A$ и $C$ принадлежат и плоскости $\alpha$, и плоскости $\gamma$, то эти плоскости пересекаются по прямой $AC$.

Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

В нашем случае плоскость $\gamma=(ACD)$ проходит через прямую $CD$, и по нашему предположению $CD \parallel \alpha$. Значит, линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$, которой является прямая $AC$, должна быть параллельна прямой $CD$. То есть, $AC \parallel CD$.

Однако прямые $AC$ и $CD$ не могут быть параллельны, так как они имеют общую точку $C$ и не совпадают (поскольку точки $A, C, D$ являются вершинами грани тетраэдра и не лежат на одной прямой). Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным.

Следовательно, прямая $CD$ не параллельна плоскости $\alpha$.

По условию $l \parallel CD$. Если предположить, что $l \parallel \alpha$, то по определению параллельности прямой и плоскости в плоскости $\alpha$ нашлась бы прямая $m$, такая что $l \parallel m$. Тогда по свойству транзитивности параллельных прямых ($l \parallel CD$ и $l \parallel m$) следовало бы, что $CD \parallel m$, а значит $CD \parallel \alpha$. Это противоречит тому, что мы только что доказали.

Таким образом, прямая $l$ не параллельна плоскости $\alpha$. Прямая, не параллельная плоскости и не лежащая в ней, пересекает эту плоскость. Следовательно, прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha = (ABC)$.

2. Докажем, что прямая $l$ пересекает плоскость $\beta = (ABD)$.

Доказательство для плоскости $\beta$ проводится аналогично.

Предположим от противного, что прямая $CD$ параллельна плоскости $\beta = (ABD)$ ($CD \parallel \beta$).

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $B, C, D$. Обозначим ее $\delta = (BCD)$. Эта плоскость содержит прямую $CD$. Так как точки $B$ и $D$ принадлежат и плоскости $\beta$, и плоскости $\delta$, то эти плоскости пересекаются по прямой $BD$.

Применяя ту же теорему, что и в первой части, из предположения $CD \parallel \beta$ следует, что линия пересечения $BD$ должна быть параллельна прямой $CD$, то есть $BD \parallel CD$.

Это является противоречием, так как прямые $BD$ и $CD$ имеют общую точку $D$ и не совпадают (точки $B, C, D$ — вершины грани тетраэдра).

Следовательно, предположение неверно, и прямая $CD$ не параллельна плоскости $\beta$. Так как $l \parallel CD$, то и прямая $l$ не параллельна плоскости $\beta$.

Значит, прямая $l$ пересекает плоскость $\beta = (ABD)$.

Мы доказали, что любая прямая $l$, параллельная отрезку $CD$, пересекает и плоскость $(ABC)$, и плоскость $(ABD)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.