Номер 20, страница 13 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

20. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Для решения этой задачи воспользуемся основными определениями и теоремами стереометрии.

Пусть дана трапеция, её основания лежат на прямых $a$ и $b$, а средняя линия — на прямой $m$. По условию, прямая $m$, содержащая среднюю линию, лежит в плоскости $\alpha$, что записывается как $m \subset \alpha$.

Из свойств трапеции известно, что её средняя линия параллельна обоим основаниям. Таким образом, мы имеем следующие соотношения параллельности:

• $a \parallel m$
• $b \parallel m$

Рассмотрим взаимное расположение прямой $a$ (содержащей одно из оснований) и плоскости $\alpha$. У нас есть прямая $a$, которая параллельна прямой $m$, в то время как прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Из этого следует, что для прямой и плоскости возможны два случая:

1. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
2. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

В обоих случаях прямая $a$ не пересекает плоскость $\alpha$ (то есть не имеет с ней ровно одной общей точки).

Аналогичное рассуждение применимо и к прямой $b$, содержащей второе основание. Поскольку $b \parallel m$ и $m \subset \alpha$, прямая $b$ также либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней. Следовательно, прямая $b$ также не пересекает плоскость $\alpha$.

Таким образом, ни одна из прямых, содержащих основания трапеции, не может пересекать плоскость $\alpha$.

Ответ: Нет, прямые, содержащие основания трапеции, не пересекают плоскость $\alpha$. Обоснование заключается в том, что основания трапеции по свойству средней линии параллельны ей. Поскольку средняя линия, по условию, лежит в плоскости $\alpha$, то и прямые, содержащие основания, согласно признаку параллельности прямой и плоскости, либо параллельны плоскости $\alpha$, либо лежат в ней. Ни в том, ни в другом случае они не пересекают плоскость (в смысле наличия единственной общей точки).