Номер 22, страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

22. Точки А и В лежат в плоскости α, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости α.

Пусть даны плоскость $\alpha$ и точки A, B, C. По условию, точки A и B лежат в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$, $B \in \alpha$), а точка C не лежит в этой плоскости ($C \notin \alpha$).

Обозначим середину отрезка AC как точку M, а середину отрезка BC — как точку N. Нам необходимо доказать, что прямая MN параллельна плоскости $\alpha$.

Рассмотрим точки A, B и C. Так как точка C не лежит в плоскости $\alpha$, а точки A и B лежат в ней, то точки A, B и C не лежат на одной прямой. Следовательно, они образуют треугольник $ABC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок MN соединяет середины сторон AC и BC. По определению, MN является средней линией треугольника $ABC$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В нашем случае это означает, что прямая MN параллельна прямой AB. Запишем это в виде формулы: $MN \parallel AB$.

Так как по условию точки A и B лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости) вся прямая AB лежит в плоскости $\alpha$. Запишем это так: $AB \subset \alpha$.

Теперь применим признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Проверим условия этого признака:
1. Прямая MN не лежит в плоскости $\alpha$. Действительно, если бы MN лежала в $\alpha$, то точка M принадлежала бы $\alpha$. Но так как $A \in \alpha$ и $M \in \alpha$, то и вся прямая AC лежала бы в $\alpha$, а значит и точка C лежала бы в $\alpha$, что противоречит условию $C \notin \alpha$.
2. Прямая MN параллельна прямой AB ($MN \parallel AB$).
3. Прямая AB лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$).

Все условия признака выполняются. Следовательно, прямая MN параллельна плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна прямой AB, лежащей в плоскости $\alpha$, и, следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, она параллельна и самой плоскости $\alpha$.