Номер 29, страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 29, страница 14.

29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка K — середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке Н, и найдите отрезок KН.

Доказательство того, что плоскость ADK пересекает отрезок MC в некоторой точке H

1. В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

2. Рассмотрим плоскость $ADK$. Прямая $AD$ лежит в этой плоскости ($AD \subset (ADK)$). Так как $AD \parallel BC$ и прямая $BC$ не лежит в плоскости $ADK$ (поскольку точка $M$ не лежит в плоскости трапеции), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $BC$ параллельна плоскости $ADK$, то есть $BC \parallel (ADK)$.

3. Теперь рассмотрим плоскость $BMC$. Она проходит через прямую $BC$, которая параллельна плоскости $ADK$. Плоскости $ADK$ и $BMC$ имеют общую точку $K$ (так как $K$ — середина $BM$, то $K \in BM$, а значит $K \in (BMC)$; по построению $K \in (ADK)$). Следовательно, эти плоскости пересекаются по некоторой прямой.

4. По свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($BMC$) проходит через прямую ($BC$), параллельную другой плоскости ($ADK$), и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой ($BC$).

5. Пусть $l$ — линия пересечения плоскостей $ADK$ и $BMC$. Тогда $K \in l$ и $l \parallel BC$.

6. По условию, плоскость $ADK$ пересекает отрезок $MC$ в точке $H$. Это означает, что $H$ — это общая точка для плоскости $ADK$ и отрезка $MC$. Так как отрезок $MC$ лежит в плоскости $BMC$, точка $H$ также принадлежит плоскости $BMC$. Значит, точка $H$ лежит на линии пересечения $l$. Таким образом, прямая $l$ — это прямая $KH$.

7. В треугольнике $\triangle BMC$ прямая $KH$ проходит через середину стороны $BM$ (точку $K$) и параллельна стороне $BC$. По теореме Фалеса (или свойству средней линии), эта прямая пересекает сторону $MC$ в её середине. Следовательно, точка $H$ является серединой отрезка $MC$.

Так как $H$ — середина отрезка $MC$, она является его внутренней точкой. Таким образом, доказано, что плоскость $ADK$ пересекает отрезок $MC$ в точке $H$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Нахождение отрезка KH

Рассмотрим треугольник $\triangle BMC$. Как было установлено в ходе доказательства, точка $K$ является серединой стороны $BM$ (по условию), а точка $H$ является серединой стороны $MC$.

Следовательно, отрезок $KH$ является средней линией треугольника $\triangle BMC$, соединяющей середины сторон $BM$ и $MC$.

По свойству средней линии, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае, $KH \parallel BC$.

$KH = \frac{1}{2} BC$

По условию задачи, $BC = 12$ см. Подставим это значение в формулу:

$KH = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Ответ: 6 см.