Номер 34, страница 19 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

34. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых:

a) ND и АВ;

б) РK и ВС;

в) MN и АВ;

г) МР и АС;

д) KN и АС;

е) MD и ВС.

а) ND и AB

Точки N, D, B лежат на одной прямой, так как N — середина отрезка DB. Следовательно, прямая ND совпадает с прямой DB. Прямые DB и AB лежат в одной плоскости (плоскости треугольника ABD) и имеют общую точку B. Поскольку точки A, B, D не лежат на одной прямой (они образуют треугольник), прямые DB и AB не совпадают. Таким образом, эти прямые пересекаются в точке B.

Ответ: пересекающиеся.

б) PK и BC

Рассмотрим плоскость треугольника DBC. Точка P — середина DC, поэтому P принадлежит плоскости (DBC). Точка N — середина DB, поэтому N принадлежит плоскости (DBC). Точка B также принадлежит этой плоскости. Поскольку точка K лежит на отрезке BN, а точки B и N лежат в плоскости (DBC), то и точка K лежит в этой плоскости. Следовательно, вся прямая PK содержится в плоскости (DBC). Прямая BC также лежит в плоскости (DBC). Таким образом, прямые PK и BC копланарны (лежат в одной плоскости), а значит они либо пересекаются, либо параллельны.

В треугольнике DBC отрезок NP является средней линией, так как N и P — середины сторон DB и DC. По свойству средней линии, $NP \parallel BC$. В плоскости (DBC) через точку P можно провести только одну прямую, параллельную BC. Эта прямая — NP.

Прямая PK будет параллельна BC только в том случае, если она совпадает с прямой NP. Это возможно, только если точка K лежит на прямой NP. Но по условию, K лежит на прямой BN. Следовательно, для того чтобы прямая PK была параллельна BC, точка K должна быть точкой пересечения прямых BN и NP, то есть K должна совпадать с N.

Если $K=N$, то прямая PK совпадает с PN, и $PN \parallel BC$. В этом случае прямые параллельны.

Если K — любая другая точка отрезка BN ($K \neq N$), то прямая PK не совпадает с прямой PN и, следовательно, не параллельна BC. А поскольку прямые PK и BC лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются.

Ответ: прямые пересекаются, если точка K не совпадает с точкой N; прямые параллельны, если точка K совпадает с точкой N.

в) MN и AB

Рассмотрим треугольник ADB. По условию, M — середина стороны DA, а N — середина стороны DB. Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника ADB. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Таким образом, $MN \parallel AB$.

Ответ: параллельные.

г) MP и AC

Рассмотрим треугольник ADC. По условию, M — середина стороны DA, а P — середина стороны DC. Следовательно, отрезок MP является средней линией треугольника ADC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Таким образом, $MP \parallel AC$.

Ответ: параллельные.

д) KN и AC

Поскольку точка K лежит на отрезке BN, точки K, N, B лежат на одной прямой. Значит, прямая KN совпадает с прямой BN. Таким образом, задача сводится к определению взаимного расположения прямых BN и AC.

Прямая AC лежит в плоскости (ABC). Точка B также лежит в этой плоскости. Точка N является серединой отрезка DB. Так как точка D по условию не лежит в плоскости (ABC), то и точка N не лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая BN пересекает плоскость (ABC) в точке B, но не лежит в ней.

Поскольку прямые BN и AC не лежат в одной плоскости, они не могут быть ни параллельными, ни пересекающимися. Такие прямые называются скрещивающимися.

Ответ: скрещивающиеся.

е) MD и BC

Поскольку точка M является серединой отрезка DA, точки M, D, A лежат на одной прямой. Значит, прямая MD совпадает с прямой DA. Таким образом, задача сводится к определению взаимного расположения прямых DA и BC.

Прямые DA и BC являются противоположными рёбрами тетраэдра ABCD. Противоположные рёбра тетраэдра не лежат в одной плоскости. Если бы они лежали в одной плоскости, то все четыре вершины A, B, C, D были бы компланарны, что противоречит условию задачи ("Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC").

Так как прямые DA и BC не лежат в одной плоскости, они являются скрещивающимися.

Ответ: скрещивающиеся.