Номер 36, страница 19 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 36, страница 19.

36. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а. Докажите, что b и с — скрещивающиеся прямые.

Для доказательства того, что прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися, нам необходимо показать, что они удовлетворяют двум условиям:

1. Они не пересекаются.
2. Они не параллельны.

1. Доказательство того, что прямые $b$ и $c$ не пересекаются.

Это условие дано непосредственно в условии задачи: сказано, что прямая $c$ «не пересекает прямую $b$». Следовательно, первая часть определения скрещивающихся прямых выполнена.

2. Доказательство того, что прямые $b$ и $c$ не параллельны.

Будем доказывать этот пункт методом от противного. Предположим, что прямые $b$ и $c$ все-таки параллельны, то есть $b \parallel c$.

Из условия задачи мы знаем, что прямая $a$ параллельна прямой $b$, то есть $a \parallel b$.

Теперь у нас есть система из двух утверждений:

• $a \parallel b$ (по условию)
• $b \parallel c$ (наше предположение)

Согласно теореме о двух прямых, параллельных третьей, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Из $a \parallel b$ и $c \parallel b$ следует, что $a \parallel c$.

Однако это заключение ($a \parallel c$) прямо противоречит условию задачи, в котором говорится, что «прямая $c$ пересекает прямую $a$». Параллельные прямые по определению не могут пересекаться.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $b$ и $c$ не могут быть параллельными.

Вывод

Мы установили, что прямые $b$ и $c$ не пересекаются и не являются параллельными. По определению, две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.

Таким образом, доказано, что прямые $b$ и $c$ — скрещивающиеся.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку прямая $c$ не пересекает прямую $b$ и, как было показано, не параллельна ей, то по определению прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися.