Номер 33, страница 15 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

33. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.

Пусть даны три плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию задачи, они попарно пересекаются, но не проходят через одну общую прямую. Обозначим прямые их попарного пересечения:

• $a = \beta \cap \gamma$
• $b = \alpha \cap \gamma$
• $c = \alpha \cap \beta$

Поскольку плоскости не имеют общей прямой, прямые $a, b, c$ являются тремя различными прямыми.

Рассмотрим взаимное расположение прямых $b$ и $c$. Обе эти прямые лежат в плоскости $\alpha$. Для двух различных прямых, лежащих в одной плоскости, возможны два варианта их взаимного расположения: они либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. Разберем оба этих случая.

Случай 1: Прямые пересекаются

Пусть прямые $b$ и $c$ пересекаются в некоторой точке $M$. Это означает, что точка $M$ принадлежит обеим прямым: $M \in b$ и $M \in c$.

• Поскольку $M \in b$ и прямая $b$ является пересечением плоскостей $\alpha$ и $\gamma$, то точка $M$ принадлежит обеим этим плоскостям: $M \in \alpha$ и $M \in \gamma$.
• Поскольку $M \in c$ и прямая $c$ является пересечением плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то точка $M$ принадлежит обеим этим плоскостям: $M \in \alpha$ и $M \in \beta$.

Из этого следует, что точка $M$ принадлежит всем трем плоскостям одновременно: $M \in \alpha$, $M \in \beta$ и $M \in \gamma$. Теперь рассмотрим третью прямую $a$, которая является линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$. Так как точка $M$ принадлежит и плоскости $\beta$, и плоскости $\gamma$, она по определению должна лежать на прямой их пересечения, то есть на прямой $a$. Таким образом, все три прямые $a, b$ и $c$ проходят через точку $M$, то есть имеют общую точку.

Случай 2: Прямые параллельны

Пусть прямые $b$ и $c$ параллельны: $b \parallel c$. Докажем, что в этом случае третья прямая $a$ будет параллельна им обеим. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $a$ не параллельна прямой $c$. Прямые $a$ и $c$ обе лежат в плоскости $\beta$. Если они не параллельны, то они должны пересекаться в некоторой точке $K$. Итак, пусть $a \cap c = K$.

• Поскольку $K \in c$, а прямая $c = \alpha \cap \beta$, то точка $K$ принадлежит плоскостям $\alpha$ и $\beta$.
• Поскольку $K \in a$, а прямая $a = \beta \cap \gamma$, то точка $K$ принадлежит плоскостям $\beta$ и $\gamma$.

Из этого следует, что точка $K$ принадлежит всем трем плоскостям: $K \in \alpha$, $K \in \beta$ и $K \in \gamma$. А раз точка $K$ принадлежит плоскостям $\alpha$ и $\gamma$, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $b$. Получается, что точка $K$ является точкой пересечения прямых $b$ и $c$. Но это противоречит нашему исходному предположению в данном случае, что прямые $b$ и $c$ параллельны. Следовательно, наше предположение о том, что прямые $a$ и $c$ пересекаются, неверно. Поскольку прямые $a$ и $c$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не пересекаются, они параллельны: $a \parallel c$. Так как $b \parallel c$ и $a \parallel c$, то по свойству транзитивности параллельности прямых, все три прямые $a, b, c$ параллельны друг другу.

Мы рассмотрели все возможные случаи взаимного расположения прямых и в каждом из них получили один из двух выводов, упомянутых в условии задачи. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказано, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной общей точке.