Номер 30, страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

30. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости α; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости α.

а) Пусть трапеция $ABCD$ задает плоскость $\beta$. Таким образом, все точки трапеции, включая прямые $AB$ и $CD$, лежат в этой плоскости $\beta$.
Из условия задачи нам известно:
1. Основание $AB$ параллельно плоскости $\alpha$, то есть $AB \parallel \alpha$.
2. Вершина $C$ лежит в плоскости $\alpha$, то есть $C \in \alpha$.
Поскольку точка $C$ является вершиной трапеции, она также принадлежит плоскости $\beta$ ($C \in \beta$). Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $C$, они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $l$. Следовательно, $l = \alpha \cap \beta$, и точка $C$ лежит на этой прямой ($C \in l$).
Применим теорему о линии пересечения плоскостей: если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($l$) параллельна данной прямой ($AB$). Таким образом, получаем, что $l \parallel AB$.
По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $CD \parallel AB$.
Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. В этой плоскости через точку $C$ проходят две прямые: $CD$ (основание трапеции) и $l$ (линия пересечения плоскостей), и обе они параллельны прямой $AB$.
Согласно аксиоме параллельных прямых (V постулат Евклида), в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Отсюда следует, что прямые $CD$ и $l$ должны совпадать.
Так как прямая $l$ по определению линии пересечения полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$), а прямая $CD$ совпадает с прямой $l$, то и прямая $CD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.
Ответ: Основание $CD$ трапеции лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

б) Обозначим среднюю линию трапеции $ABCD$ как $MN$, где $M$ — середина боковой стороны $AD$, а $N$ — середина боковой стороны $BC$.
По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Следовательно, $MN \parallel AB$ и $MN \parallel CD$.
В пункте а) мы доказали, что основание $CD$ лежит в плоскости $\alpha$, то есть $CD \subset \alpha$.
Теперь воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая (не лежащая в плоскости) параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Мы имеем, что средняя линия $MN$ параллельна прямой $CD$ ($MN \parallel CD$), а прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$. Предполагая, что трапеция не лежит целиком в плоскости $\alpha$, прямая $MN$ также не лежит в этой плоскости.
Из этих двух условий ($MN \parallel CD$ и $CD \subset \alpha$) следует, что прямая $MN$ параллельна плоскости $\alpha$.
Ответ: Средняя линия трапеции параллельна плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.