Страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

22. Точки А и В лежат в плоскости α, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости α.

Пусть даны плоскость $\alpha$ и точки A, B, C. По условию, точки A и B лежат в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$, $B \in \alpha$), а точка C не лежит в этой плоскости ($C \notin \alpha$).

Обозначим середину отрезка AC как точку M, а середину отрезка BC — как точку N. Нам необходимо доказать, что прямая MN параллельна плоскости $\alpha$.

Рассмотрим точки A, B и C. Так как точка C не лежит в плоскости $\alpha$, а точки A и B лежат в ней, то точки A, B и C не лежат на одной прямой. Следовательно, они образуют треугольник $ABC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок MN соединяет середины сторон AC и BC. По определению, MN является средней линией треугольника $ABC$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В нашем случае это означает, что прямая MN параллельна прямой AB. Запишем это в виде формулы: $MN \parallel AB$.

Так как по условию точки A и B лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости) вся прямая AB лежит в плоскости $\alpha$. Запишем это так: $AB \subset \alpha$.

Теперь применим признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Проверим условия этого признака:
1. Прямая MN не лежит в плоскости $\alpha$. Действительно, если бы MN лежала в $\alpha$, то точка M принадлежала бы $\alpha$. Но так как $A \in \alpha$ и $M \in \alpha$, то и вся прямая AC лежала бы в $\alpha$, а значит и точка C лежала бы в $\alpha$, что противоречит условию $C \notin \alpha$.
2. Прямая MN параллельна прямой AB ($MN \parallel AB$).
3. Прямая AB лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$).

Все условия признака выполняются. Следовательно, прямая MN параллельна плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна прямой AB, лежащей в плоскости $\alpha$, и, следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, она параллельна и самой плоскости $\alpha$.

23. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости АВМ.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости. Этот признак гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Рассмотрим последовательно шаги доказательства:

1. По условию задачи, фигура $ABCD$ является прямоугольником. Одно из основных свойств прямоугольника — параллельность его противоположных сторон. Следовательно, прямая $CD$ параллельна прямой $AB$. Математически это записывается как $CD \parallel AB$.

2. Мы рассматриваем плоскость $ABM$. По определению, эта плоскость проходит через точки $A$, $B$ и $M$. Прямая $AB$ проходит через две точки ($A$ и $B$), принадлежащие этой плоскости, а значит, и вся прямая $AB$ лежит в плоскости $ABM$. Математически это можно записать как $AB \subset (ABM)$.

3. В условии сказано, что точка $M$ не лежит в плоскости прямоугольника $ABCD$. Это означает, что прямая $CD$ также не может лежать в плоскости $ABM$. Если бы прямая $CD$ лежала в плоскости $ABM$, то, так как и прямая $AB$ лежит в этой же плоскости, плоскость $ABM$ совпадала бы с плоскостью прямоугольника $ABCD$. В таком случае точка $M$ лежала бы в плоскости $ABCD$, что противоречит условию задачи. Следовательно, $CD \not\subset (ABM)$.

Таким образом, мы имеем все условия для применения признака параллельности прямой и плоскости:

• Прямая $CD$ не лежит в плоскости $ABM$.
• Прямая $CD$ параллельна прямой $AB$ ($CD \parallel AB$).
• Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABM$ ($AB \subset (ABM)$).

Из этого следует, что прямая $CD$ параллельна плоскости $ABM$.

Ответ: Прямая $CD$ параллельна плоскости $ABM$, что и требовалось доказать.

24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС.

По условию задачи, ABCD — это трапеция с основанием AD. По определению трапеции, её основания параллельны. Следовательно, прямая AD параллельна прямой BC. В виде формулы это записывается как $AD \parallel BC$.

Рассмотрим плоскость BMC. Данная плоскость определена тремя точками B, M и C. Прямая BC проходит через две из этих точек, а значит, прямая BC целиком лежит в плоскости BMC. Это можно записать как $BC \subset (BMC)$.

По условию, точка M не лежит в плоскости трапеции (ABCD). Прямая AD, в свою очередь, лежит в плоскости (ABCD). Из этого следует, что прямая AD не может лежать в плоскости BMC. Докажем это от противного: предположим, что $AD \subset (BMC)$. Тогда точки A и D принадлежат плоскости BMC. Так как точки B и C также принадлежат этой плоскости, то все четыре вершины трапеции A, B, C, D лежат в плоскости BMC. Это означает, что плоскость трапеции (ABCD) и плоскость (BMC) — это одна и та же плоскость. Но это противоречит условию, согласно которому точка M принадлежит плоскости (BMC), но не принадлежит плоскости (ABCD). Следовательно, наше предположение неверно, и $AD \not\subset (BMC)$.

Теперь мы можем применить признак параллельности прямой и плоскости, который гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

У нас есть все необходимые условия для применения этого признака:
1. Прямая AD не лежит в плоскости BMC ($AD \not\subset (BMC)$).
2. Прямая AD параллельна прямой BC ($AD \parallel BC$).
3. Прямая BC лежит в плоскости BMC ($BC \subset (BMC)$).

На основании этих фактов мы заключаем, что прямая AD параллельна плоскости BMC.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что прямая AD параллельна плоскости BMC, доказано.

25. Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$. Из определения линии пересечения плоскостей следует, что прямая $c$ принадлежит обеим плоскостям, то есть $c \subset \alpha$ и $c \subset \beta$.

По условию задачи, дана прямая $a$, которая параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$) и не лежит ни в одной из этих плоскостей ($a \not\subset \alpha$ и $a \not\subset \beta$).

Требуется доказать, что прямая $a$ параллельна обеим плоскостям, то есть $a \parallel \alpha$ и $a \parallel \beta$.

Доказательство основано на признаке параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1. Докажем, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.
- У нас есть прямая $a$, которая по условию не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$). - В плоскости $\alpha$ лежит прямая $c$, так как она является линией пересечения ($c \subset \alpha$). - По условию, прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$). - Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполняются. Следовательно, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

2. Докажем, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$.
- Аналогично, прямая $a$ по условию не лежит в плоскости $\beta$ ($a \not\subset \beta$). - В плоскости $\beta$ лежит прямая $c$ ($c \subset \beta$). - По условию, прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$). - Применяя тот же признак, мы заключаем, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

Итак, мы доказали, что прямая $a$ параллельна и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

26. Сторона АС треугольника ABC параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $MBN$ воспользуемся признаком подобия по двум углам. Для этого необходимо показать, что два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN$. Угол $\angle B$ у них общий, так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$. Следовательно, $\angle ABC = \angle MBN$. Это первая пара равных углов.

2. Теперь докажем, что прямая $MN$ параллельна прямой $AC$.
Плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, обозначим как плоскость $(ABC)$. По условию, сторона $AC$ этого треугольника параллельна плоскости $\alpha$ ($AC \parallel \alpha$).
Стороны $AB$ и $BC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $M$ и $N$. Это означает, что точки $M$ и $N$ принадлежат как плоскости $(ABC)$ (поскольку лежат на ее сторонах), так и плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения плоскости $(ABC)$ и плоскости $\alpha$.

3. Согласно теореме из стереометрии: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
В нашем случае плоскость $(ABC)$ проходит через прямую $AC$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $MN$. Из теоремы следует, что $AC \parallel MN$.

4. Поскольку прямые $AC$ и $MN$ параллельны, то при пересечении их секущей $AB$ соответственные углы будут равны: $\angle BAC = \angle BMN$. Это вторая пара равных углов.

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $MBN$ есть две пары равных углов ($\angle ABC = \angle MBN$ и $\angle BAC = \angle BMN$). Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам), что и требовалось доказать.

Ответ:
Треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны. Доказательство основано на признаке подобия по двум углам:
1. Угол $\angle B$ является общим для треугольников $ABC$ и $MBN$.
2. Плоскость треугольника $(ABC)$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $MN$. Так как по условию $AC \parallel \alpha$ и прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$, то по свойству параллельных прямой и плоскости следует, что $AC \parallel MN$.
3. Из параллельности прямых $AC$ и $MN$ следует равенство соответственных углов при секущей $AB$: $\angle BAC = \angle BMN$.
4. Поскольку два угла треугольника $ABC$ соответственно равны двум углам треугольника $MBN$ ($\angle B$ — общий, $\angle BAC = \angle BMN$), то $\triangle ABC \sim \triangle MBN$ по первому признаку подобия.

27. Точка С лежит на отрезке АВ, причём АВ : ВС = 4 : 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок BE.

Докажите, что прямая AD пересекает плоскость ? в некоторой точке E
1. Рассмотрим плоскость $\beta$, заданную прямой $AB$ и точкой $D$ (предполагая, что $D$ не лежит на прямой $AB$). Так как точка $C$ лежит на отрезке $AB$, она также принадлежит этой плоскости. Следовательно, отрезок $CD$ полностью лежит в плоскости $\beta$.
2. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $B$. Точка $B$ также принадлежит плоскости $\beta$. Поскольку две плоскости ($\alpha$ и $\beta$) имеют общую точку $B$, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $l$. Прямая $l$ проходит через точку $B$.
3. Нам дано, что прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$ ($CD \parallel \alpha$). Плоскость $\beta$ содержит прямую $CD$ и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $l$. Согласно свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($CD$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($l$) параллельна данной прямой ($CD$). Таким образом, $l \parallel CD$.
4. Теперь рассмотрим прямые $AD$ и $l$ в плоскости $\beta$. Прямые $AD$ и $CD$ не параллельны, так как они пересекаются в точке $D$. Поскольку $l \parallel CD$, то прямая $l$ также не параллельна прямой $AD$.
5. Две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, обязательно пересекаются. Пусть $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $l$.
6. Так как точка $E$ принадлежит прямой $l$, а прямая $l$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то точка $E$ принадлежит плоскости $\alpha$.
Следовательно, прямая $AD$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$.
Ответ: Доказано.

и найдите отрезок BE
Как было установлено в доказательстве, в плоскости $\beta$ (плоскости треугольника $ABD$) прямая $BE$ параллельна прямой $CD$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$. Они подобны по двум углам (признак подобия AA):
1. Угол $\angle BAE$ (или $\angle CAD$) является общим для обоих треугольников.
2. Так как $BE \parallel CD$, углы $\angle AEB$ и $\angle ADC$ являются соответственными при параллельных прямых $BE$ и $CD$ и секущей $AD$. Следовательно, $\angle AEB = \angle ADC$.
Из подобия треугольников $ \triangle ABE \sim \triangle ACD $ следует пропорциональность их соответственных сторон:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} = \frac{AE}{AD} $
Найдем отношение сторон $AB$ и $AC$. По условию задачи $AB : BC = 4 : 3$. Мы можем представить длины этих отрезков как $AB = 4x$ и $BC = 3x$ для некоторого коэффициента $x$.
Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AB$, длина отрезка $AC$ равна разности длин $AB$ и $BC$:
$ AC = AB - BC = 4x - 3x = x $
Теперь мы можем найти отношение $\frac{AB}{AC}$:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{4x}{x} = 4 $
Подставим это отношение и известную длину $CD = 12$ см в нашу пропорцию:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} $
$ 4 = \frac{BE}{12} $
Отсюда выразим и вычислим длину отрезка $BE$:
$ BE = 4 \cdot 12 = 48 $ см.
Ответ: 48 см.

28. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что длина отрезка DE равна 5 см и BDDA = 23. Плоскость α проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.

По условию задачи, точки D и E лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки B и C, значит, прямая BC лежит в плоскости $\alpha$. Также дано, что плоскость $\alpha$ параллельна отрезку DE.

Рассмотрим плоскость, в которой лежит треугольник ABC. Эта плоскость содержит прямую DE. Согласно теореме о параллельности прямой и плоскости, если плоскость (в данном случае, плоскость $\triangle ABC$) проходит через прямую (DE), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения этих плоскостей (прямая BC) параллельна данной прямой (DE).

Следовательно, мы можем утверждать, что отрезок $DE$ параллелен отрезку $BC$ ($DE \parallel BC$).

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle ADE$ равен углу $\angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$.

Таким образом, треугольник $\triangle ADE$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Коэффициент подобия $k = \frac{AB}{AD}$.

Из этой пропорции выразим искомую сторону $BC$:

$BC = DE \cdot \frac{AB}{AD}$

Найдем отношение $\frac{AB}{AD}$. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $AB = AD + DB$.

По условию дано отношение $\frac{BD}{DA} = \frac{2}{3}$. Отсюда можно выразить $BD$ через $AD$:

$BD = \frac{2}{3} AD$

Подставим это в выражение для $AB$:

$AB = AD + \frac{2}{3} AD = (1 + \frac{2}{3}) AD = \frac{5}{3} AD$

Теперь найдем отношение $\frac{AB}{AD}$:

$\frac{AB}{AD} = \frac{\frac{5}{3} AD}{AD} = \frac{5}{3}$

Наконец, подставим все известные значения в формулу для $BC$. Нам дано, что $DE = 5$ см.

$BC = 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{3}$ см.

Ответ: $\frac{25}{3}$ см.

29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка K — середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке Н, и найдите отрезок KН.

Доказательство того, что плоскость ADK пересекает отрезок MC в некоторой точке H

1. В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

2. Рассмотрим плоскость $ADK$. Прямая $AD$ лежит в этой плоскости ($AD \subset (ADK)$). Так как $AD \parallel BC$ и прямая $BC$ не лежит в плоскости $ADK$ (поскольку точка $M$ не лежит в плоскости трапеции), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $BC$ параллельна плоскости $ADK$, то есть $BC \parallel (ADK)$.

3. Теперь рассмотрим плоскость $BMC$. Она проходит через прямую $BC$, которая параллельна плоскости $ADK$. Плоскости $ADK$ и $BMC$ имеют общую точку $K$ (так как $K$ — середина $BM$, то $K \in BM$, а значит $K \in (BMC)$; по построению $K \in (ADK)$). Следовательно, эти плоскости пересекаются по некоторой прямой.

4. По свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($BMC$) проходит через прямую ($BC$), параллельную другой плоскости ($ADK$), и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой ($BC$).

5. Пусть $l$ — линия пересечения плоскостей $ADK$ и $BMC$. Тогда $K \in l$ и $l \parallel BC$.

6. По условию, плоскость $ADK$ пересекает отрезок $MC$ в точке $H$. Это означает, что $H$ — это общая точка для плоскости $ADK$ и отрезка $MC$. Так как отрезок $MC$ лежит в плоскости $BMC$, точка $H$ также принадлежит плоскости $BMC$. Значит, точка $H$ лежит на линии пересечения $l$. Таким образом, прямая $l$ — это прямая $KH$.

7. В треугольнике $\triangle BMC$ прямая $KH$ проходит через середину стороны $BM$ (точку $K$) и параллельна стороне $BC$. По теореме Фалеса (или свойству средней линии), эта прямая пересекает сторону $MC$ в её середине. Следовательно, точка $H$ является серединой отрезка $MC$.

Так как $H$ — середина отрезка $MC$, она является его внутренней точкой. Таким образом, доказано, что плоскость $ADK$ пересекает отрезок $MC$ в точке $H$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Нахождение отрезка KH

Рассмотрим треугольник $\triangle BMC$. Как было установлено в ходе доказательства, точка $K$ является серединой стороны $BM$ (по условию), а точка $H$ является серединой стороны $MC$.

Следовательно, отрезок $KH$ является средней линией треугольника $\triangle BMC$, соединяющей середины сторон $BM$ и $MC$.

По свойству средней линии, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае, $KH \parallel BC$.

$KH = \frac{1}{2} BC$

По условию задачи, $BC = 12$ см. Подставим это значение в формулу:

$KH = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

30. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости α; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости α.

а) Пусть трапеция $ABCD$ задает плоскость $\beta$. Таким образом, все точки трапеции, включая прямые $AB$ и $CD$, лежат в этой плоскости $\beta$.
Из условия задачи нам известно:
1. Основание $AB$ параллельно плоскости $\alpha$, то есть $AB \parallel \alpha$.
2. Вершина $C$ лежит в плоскости $\alpha$, то есть $C \in \alpha$.
Поскольку точка $C$ является вершиной трапеции, она также принадлежит плоскости $\beta$ ($C \in \beta$). Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $C$, они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $l$. Следовательно, $l = \alpha \cap \beta$, и точка $C$ лежит на этой прямой ($C \in l$).
Применим теорему о линии пересечения плоскостей: если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($l$) параллельна данной прямой ($AB$). Таким образом, получаем, что $l \parallel AB$.
По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $CD \parallel AB$.
Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. В этой плоскости через точку $C$ проходят две прямые: $CD$ (основание трапеции) и $l$ (линия пересечения плоскостей), и обе они параллельны прямой $AB$.
Согласно аксиоме параллельных прямых (V постулат Евклида), в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Отсюда следует, что прямые $CD$ и $l$ должны совпадать.
Так как прямая $l$ по определению линии пересечения полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$), а прямая $CD$ совпадает с прямой $l$, то и прямая $CD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.
Ответ: Основание $CD$ трапеции лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

б) Обозначим среднюю линию трапеции $ABCD$ как $MN$, где $M$ — середина боковой стороны $AD$, а $N$ — середина боковой стороны $BC$.
По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Следовательно, $MN \parallel AB$ и $MN \parallel CD$.
В пункте а) мы доказали, что основание $CD$ лежит в плоскости $\alpha$, то есть $CD \subset \alpha$.
Теперь воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая (не лежащая в плоскости) параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Мы имеем, что средняя линия $MN$ параллельна прямой $CD$ ($MN \parallel CD$), а прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$. Предполагая, что трапеция не лежит целиком в плоскости $\alpha$, прямая $MN$ также не лежит в этой плоскости.
Из этих двух условий ($MN \parallel CD$ и $CD \subset \alpha$) следует, что прямая $MN$ параллельна плоскости $\alpha$.
Ответ: Средняя линия трапеции параллельна плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

31. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость α проходит также через середину стороны АС.

Доказательство:

Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, как $(ABC)$. Пусть $M$ – середина стороны $AB$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$, следовательно, $M \in \alpha$. Так как точка $M$ также принадлежит прямой $AB$, она принадлежит и плоскости $(ABC)$.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $(ABC)$ имеют общую точку $M$, они пересекаются. Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Обозначим эту прямую как $m$. Таким образом, $m = \alpha \cap (ABC)$, и точка $M$ лежит на этой прямой ($M \in m$).

По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BC$ ($\alpha \parallel BC$). Прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$. Используем свойство параллельных прямой и плоскости: если плоскость ($\alpha$) параллельна некоторой прямой ($BC$), то линия пересечения $m$ этой плоскости ($\alpha$) с любой другой плоскостью ($(ABC)$), содержащей данную прямую ($BC$), будет параллельна этой прямой. Следовательно, $m \parallel BC$.

Теперь рассмотрим ситуацию в плоскости треугольника $ABC$. Прямая $m$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ и параллельна стороне $BC$. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. Следовательно, прямая $m$ пересекает сторону $AC$ в ее середине.

Пусть $N$ – точка пересечения прямой $m$ и стороны $AC$. Тогда, согласно теореме, $N$ является серединой стороны $AC$ ($AN = NC$). Поскольку прямая $m$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ (по определению линии пересечения), то и точка $N$, принадлежащая прямой $m$, также принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы доказали, что плоскость $\alpha$ проходит через середину стороны $AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью треугольника $ABC$ проходит через середину стороны $AB$ и параллельна стороне $BC$. По теореме о средней линии треугольника, эта линия пересечения обязательно проходит через середину стороны $AC$. Следовательно, и плоскость $\alpha$ проходит через середину стороны $AC$.

32. Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые а и АВ параллельны.

Решение

Через точку А проведём¹ прямую AM, параллельную прямой a (рис. 18). Так как прямая a параллельна плоскостям α и β, то прямая AM лежит как в плоскости α, так и в плоскости β (п. 6, утверждение 20). Таким образом, AM — прямая, по которой пересекаются плоскости α и β, т. е. она совпадает с прямой АВ. Следовательно, АВ || а.

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $AB$. Это означает, что прямая $AB$ является общей для обеих плоскостей ($AB \subset \alpha$ и $AB \subset \beta$). Также дана прямая $a$, которая параллельна обеим этим плоскостям: $a \parallel \alpha$ и $a \parallel \beta$. Требуется доказать, что прямая $a$ параллельна прямой $AB$.

Для доказательства воспользуемся методом построения, который изложен в решении из учебника, но представим его более развернуто.

1. Выберем на прямой $AB$ произвольную точку. Назовем ее $A$. Поскольку точка $A$ лежит на линии пересечения плоскостей, она по определению принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$ ($A \in \alpha$ и $A \in \beta$).

2. Через точку $A$ проведем прямую $c$, параллельную прямой $a$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Итак, мы построили прямую $c$ так, что $c \parallel a$.

3. Теперь рассмотрим соотношение между прямой $c$ и плоскостью $\alpha$. Нам известно, что $a \parallel \alpha$ (по условию). Прямая $c$ проходит через точку $A$, принадлежащую плоскости $\alpha$, и при этом $c \parallel a$. Существует теорема (в учебнике она упомянута как "утверждение 2"), которая гласит: если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то через любую точку $A$ плоскости $\alpha$ проходит единственная прямая $c$, параллельная $a$, и эта прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, мы можем утверждать, что $c \subset \alpha$.

4. Аналогичное рассуждение применим и для плоскости $\beta$. Нам известно, что $a \parallel \beta$ (по условию). Прямая $c$ проходит через точку $A$, принадлежащую плоскости $\beta$, и $c \parallel a$. По той же самой теореме, прямая $c$ должна целиком лежать в плоскости $\beta$. Следовательно, $c \subset \beta$.

5. Из пунктов 3 и 4 мы получили, что прямая $c$ одновременно принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. По определению, множество всех общих точек двух плоскостей является их линией пересечения. Значит, прямая $c$ — это и есть линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

6. По условию задачи, линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является прямая $AB$. Так как две плоскости могут пересекаться только по одной прямой, то построенная нами прямая $c$ и данная в условии прямая $AB$ должны совпадать.

7. В самом начале мы построили прямую $c$ так, что она параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$). Поскольку прямая $c$ и прямая $AB$ — это одна и та же прямая, мы можем сделать вывод, что $AB \parallel a$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Прямые $a$ и $AB$ параллельны. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии их пересечения.