Номер 32, страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

32. Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые а и АВ параллельны.

Решение

Через точку А проведём¹ прямую AM, параллельную прямой a (рис. 18). Так как прямая a параллельна плоскостям α и β, то прямая AM лежит как в плоскости α, так и в плоскости β (п. 6, утверждение 20). Таким образом, AM — прямая, по которой пересекаются плоскости α и β, т. е. она совпадает с прямой АВ. Следовательно, АВ || а.

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $AB$. Это означает, что прямая $AB$ является общей для обеих плоскостей ($AB \subset \alpha$ и $AB \subset \beta$). Также дана прямая $a$, которая параллельна обеим этим плоскостям: $a \parallel \alpha$ и $a \parallel \beta$. Требуется доказать, что прямая $a$ параллельна прямой $AB$.

Для доказательства воспользуемся методом построения, который изложен в решении из учебника, но представим его более развернуто.

1. Выберем на прямой $AB$ произвольную точку. Назовем ее $A$. Поскольку точка $A$ лежит на линии пересечения плоскостей, она по определению принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$ ($A \in \alpha$ и $A \in \beta$).

2. Через точку $A$ проведем прямую $c$, параллельную прямой $a$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Итак, мы построили прямую $c$ так, что $c \parallel a$.

3. Теперь рассмотрим соотношение между прямой $c$ и плоскостью $\alpha$. Нам известно, что $a \parallel \alpha$ (по условию). Прямая $c$ проходит через точку $A$, принадлежащую плоскости $\alpha$, и при этом $c \parallel a$. Существует теорема (в учебнике она упомянута как "утверждение 2"), которая гласит: если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то через любую точку $A$ плоскости $\alpha$ проходит единственная прямая $c$, параллельная $a$, и эта прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, мы можем утверждать, что $c \subset \alpha$.

4. Аналогичное рассуждение применим и для плоскости $\beta$. Нам известно, что $a \parallel \beta$ (по условию). Прямая $c$ проходит через точку $A$, принадлежащую плоскости $\beta$, и $c \parallel a$. По той же самой теореме, прямая $c$ должна целиком лежать в плоскости $\beta$. Следовательно, $c \subset \beta$.

5. Из пунктов 3 и 4 мы получили, что прямая $c$ одновременно принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. По определению, множество всех общих точек двух плоскостей является их линией пересечения. Значит, прямая $c$ — это и есть линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

6. По условию задачи, линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является прямая $AB$. Так как две плоскости могут пересекаться только по одной прямой, то построенная нами прямая $c$ и данная в условии прямая $AB$ должны совпадать.

7. В самом начале мы построили прямую $c$ так, что она параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$). Поскольку прямая $c$ и прямая $AB$ — это одна и та же прямая, мы можем сделать вывод, что $AB \parallel a$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Прямые $a$ и $AB$ параллельны. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии их пересечения.