Номер 27, страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 27, страница 14.

27. Точка С лежит на отрезке АВ, причём АВ : ВС = 4 : 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок BE.

Докажите, что прямая AD пересекает плоскость ? в некоторой точке E
1. Рассмотрим плоскость $\beta$, заданную прямой $AB$ и точкой $D$ (предполагая, что $D$ не лежит на прямой $AB$). Так как точка $C$ лежит на отрезке $AB$, она также принадлежит этой плоскости. Следовательно, отрезок $CD$ полностью лежит в плоскости $\beta$.
2. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $B$. Точка $B$ также принадлежит плоскости $\beta$. Поскольку две плоскости ($\alpha$ и $\beta$) имеют общую точку $B$, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $l$. Прямая $l$ проходит через точку $B$.
3. Нам дано, что прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$ ($CD \parallel \alpha$). Плоскость $\beta$ содержит прямую $CD$ и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $l$. Согласно свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($CD$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($l$) параллельна данной прямой ($CD$). Таким образом, $l \parallel CD$.
4. Теперь рассмотрим прямые $AD$ и $l$ в плоскости $\beta$. Прямые $AD$ и $CD$ не параллельны, так как они пересекаются в точке $D$. Поскольку $l \parallel CD$, то прямая $l$ также не параллельна прямой $AD$.
5. Две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, обязательно пересекаются. Пусть $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $l$.
6. Так как точка $E$ принадлежит прямой $l$, а прямая $l$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то точка $E$ принадлежит плоскости $\alpha$.
Следовательно, прямая $AD$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$.
Ответ: Доказано.

и найдите отрезок BE
Как было установлено в доказательстве, в плоскости $\beta$ (плоскости треугольника $ABD$) прямая $BE$ параллельна прямой $CD$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$. Они подобны по двум углам (признак подобия AA):
1. Угол $\angle BAE$ (или $\angle CAD$) является общим для обоих треугольников.
2. Так как $BE \parallel CD$, углы $\angle AEB$ и $\angle ADC$ являются соответственными при параллельных прямых $BE$ и $CD$ и секущей $AD$. Следовательно, $\angle AEB = \angle ADC$.
Из подобия треугольников $ \triangle ABE \sim \triangle ACD $ следует пропорциональность их соответственных сторон:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} = \frac{AE}{AD} $
Найдем отношение сторон $AB$ и $AC$. По условию задачи $AB : BC = 4 : 3$. Мы можем представить длины этих отрезков как $AB = 4x$ и $BC = 3x$ для некоторого коэффициента $x$.
Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AB$, длина отрезка $AC$ равна разности длин $AB$ и $BC$:
$ AC = AB - BC = 4x - 3x = x $
Теперь мы можем найти отношение $\frac{AB}{AC}$:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{4x}{x} = 4 $
Подставим это отношение и известную длину $CD = 12$ см в нашу пропорцию:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} $
$ 4 = \frac{BE}{12} $
Отсюда выразим и вычислим длину отрезка $BE$:
$ BE = 4 \cdot 12 = 48 $ см.
Ответ: 48 см.