Номер 25, страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

25. Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$. Из определения линии пересечения плоскостей следует, что прямая $c$ принадлежит обеим плоскостям, то есть $c \subset \alpha$ и $c \subset \beta$.

По условию задачи, дана прямая $a$, которая параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$) и не лежит ни в одной из этих плоскостей ($a \not\subset \alpha$ и $a \not\subset \beta$).

Требуется доказать, что прямая $a$ параллельна обеим плоскостям, то есть $a \parallel \alpha$ и $a \parallel \beta$.

Доказательство основано на признаке параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1. Докажем, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.
- У нас есть прямая $a$, которая по условию не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$). - В плоскости $\alpha$ лежит прямая $c$, так как она является линией пересечения ($c \subset \alpha$). - По условию, прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$). - Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполняются. Следовательно, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

2. Докажем, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$.
- Аналогично, прямая $a$ по условию не лежит в плоскости $\beta$ ($a \not\subset \beta$). - В плоскости $\beta$ лежит прямая $c$ ($c \subset \beta$). - По условию, прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$). - Применяя тот же признак, мы заключаем, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

Итак, мы доказали, что прямая $a$ параллельна и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.