Номер 28, страница 14 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

28. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что длина отрезка DE равна 5 см и BDDA = 23. Плоскость α проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.

По условию задачи, точки D и E лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки B и C, значит, прямая BC лежит в плоскости $\alpha$. Также дано, что плоскость $\alpha$ параллельна отрезку DE.

Рассмотрим плоскость, в которой лежит треугольник ABC. Эта плоскость содержит прямую DE. Согласно теореме о параллельности прямой и плоскости, если плоскость (в данном случае, плоскость $\triangle ABC$) проходит через прямую (DE), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения этих плоскостей (прямая BC) параллельна данной прямой (DE).

Следовательно, мы можем утверждать, что отрезок $DE$ параллелен отрезку $BC$ ($DE \parallel BC$).

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle ADE$ равен углу $\angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$.

Таким образом, треугольник $\triangle ADE$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Коэффициент подобия $k = \frac{AB}{AD}$.

Из этой пропорции выразим искомую сторону $BC$:

$BC = DE \cdot \frac{AB}{AD}$

Найдем отношение $\frac{AB}{AD}$. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $AB = AD + DB$.

По условию дано отношение $\frac{BD}{DA} = \frac{2}{3}$. Отсюда можно выразить $BD$ через $AD$:

$BD = \frac{2}{3} AD$

Подставим это в выражение для $AB$:

$AB = AD + \frac{2}{3} AD = (1 + \frac{2}{3}) AD = \frac{5}{3} AD$

Теперь найдем отношение $\frac{AB}{AD}$:

$\frac{AB}{AD} = \frac{\frac{5}{3} AD}{AD} = \frac{5}{3}$

Наконец, подставим все известные значения в формулу для $BC$. Нам дано, что $DE = 5$ см.

$BC = 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{3}$ см.

Ответ: $\frac{25}{3}$ см.