Номер 35, страница 19 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

35. Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.

Пусть через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проведены две различные прямые $b$ и $c$. По условию, ни одна из этих прямых не имеет общих точек с прямой $a$. Это означает, что $b \cap a = \emptyset$ и $c \cap a = \emptyset$.

Две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, могут быть либо параллельными, либо скрещивающимися. Таким образом, каждая из прямых $b$ и $c$ либо параллельна прямой $a$, либо скрещивается с ней. Нам необходимо доказать, что по крайней мере в одном случае (для пары $(a, b)$ или для пары $(a, c)$) прямые являются скрещивающимися.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение задачи неверно. То есть, предположим, что ни одна из прямых $b$ и $c$ не скрещивается с прямой $a$.

Из этого предположения следует, что раз прямая $b$ не пересекает прямую $a$ и не скрещивается с ней, то она должна быть параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$). Аналогично, прямая $c$ также должна быть параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$).

Таким образом, мы приходим к ситуации, когда через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходят две различные прямые ($b$ и $c$), и обе они параллельны одной и той же прямой $a$.

Это противоречит известной теореме стереометрии (следствию из аксиомы о параллельных прямых), которая гласит: через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Поскольку по условию задачи прямые $b$ и $c$ различны, они не могут быть одновременно параллельны прямой $a$. Значит, наше первоначальное предположение было ложным.

Следовательно, по крайней мере одна из прямых — $b$ или $c$ — не является параллельной прямой $a$. А так как она ее и не пересекает, то она скрещивается с прямой $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на методе от противного. Если предположить, что обе прямые, проходящие через точку $M$ (назовем их $b$ и $c$), не скрещиваются с прямой $a$, то, поскольку они ее и не пересекают, они обе должны быть параллельны прямой $a$. Однако это противоречит теореме о том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Так как по условию $b$ и $c$ — это две разные прямые, они не могут быть обе параллельны $a$. Следовательно, хотя бы одна из них не параллельна $a$, а значит, скрещивается с ней.