Номер 40, страница 20 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 40, страница 20.

40. На скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точки М и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость α, а через прямую b и точку М — плоскость β.

а) Лежит ли прямая b в плоскости α?

б) Пересекаются ли плоскости α и β? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.

а)

По условию, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. Это означает, что они не лежат в одной плоскости. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$ и точку $N$, где $N \in b$. Предположим, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как по определению плоскости $\alpha$ прямая $a$ также лежит в этой плоскости ($a \subset \alpha$), то получается, что обе прямые, $a$ и $b$, лежат в одной плоскости $\alpha$. Но две прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. Они не могут быть скрещивающимися. Это противоречит исходному условию, что прямые $a$ и $b$ скрещиваются. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$.

Ответ: Нет, прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.

б)

Чтобы определить, пересекаются ли плоскости $\alpha$ и $\beta$, и найти линию их пересечения, нужно найти их общие точки.

1. Рассмотрим точку $M$. По условию, $M \in a$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, следовательно, все точки прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$. Таким образом, $M \in \alpha$. По определению плоскости $\beta$, она проходит через точку $M$, значит $M \in \beta$. Следовательно, точка $M$ является общей точкой для обеих плоскостей.

2. Рассмотрим точку $N$. По условию, $N \in b$. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$, следовательно, все точки прямой $b$ принадлежат плоскости $\beta$. Таким образом, $N \in \beta$. По определению плоскости $\alpha$, она проходит через точку $N$, значит $N \in \alpha$. Следовательно, точка $N$ также является общей точкой для обеих плоскостей.

Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, они не пересекаются, и точки $M$ и $N$, лежащие на этих прямых, являются различными ($M \neq N$).

Мы нашли две различные общие точки $M$ и $N$ для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, так как в противном случае прямые $a$ и $b$ лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию.

Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, и линией их пересечения является прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, то есть прямая $MN$.

Ответ: Да, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $MN$.