Страница 20 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD, а через вершину С — прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что:

а) прямые а и CD пересекаются;

б) а и b — скрещивающиеся прямые .

а) докажите, что прямые a и CD пересекаются;

1. Обозначим плоскость, в которой лежит ромб $ABCD$, как $\alpha$. Прямая $CD$ является стороной ромба, следовательно, она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($CD \subset \alpha$).

2. Прямая $a$ проходит через вершину $A$ ромба, которая принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). По условию, прямая $a$ параллельна диагонали $BD$ ($a \parallel BD$). Диагональ $BD$ также лежит в плоскости ромба $\alpha$ ($BD \subset \alpha$).

3. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если прямая проходит через точку плоскости параллельно другой прямой, лежащей в этой плоскости, то она сама целиком лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

4. Таким образом, обе прямые, $a$ и $CD$, лежат в одной плоскости $\alpha$.

5. Теперь докажем, что они не параллельны. Предположим обратное: $a \parallel CD$. Так как по условию $a \parallel BD$, то из нашего предположения по свойству транзитивности параллельных прямых следовало бы, что $CD \parallel BD$.

6. Однако прямые $CD$ и $BD$ не могут быть параллельны, так как они имеют общую точку $D$ (являются стороной и диагональю ромба). Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно. Следовательно, прямые $a$ и $CD$ не параллельны.

7. Поскольку прямые $a$ и $CD$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые a и CD пересекаются.

б) докажите, что a и b — скрещивающиеся прямые.

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Для доказательства воспользуемся методом от противного.

1. Пусть плоскость ромба $ABCD$ — это плоскость $\alpha$. Как было установлено в пункте а), прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

2. По условию, прямая $b$ проходит через точку $C$, которая также принадлежит плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$), но сама прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$).

3. Предположим, что прямые $a$ и $b$ лежат в некоторой общей плоскости $\beta$. Это означает, что $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

4. Так как $b \subset \beta$, то и все точки прямой $b$ принадлежат плоскости $\beta$. В частности, точка $C$ принадлежит плоскости $\beta$ ($C \in \beta$).

5. Итак, плоскость $\beta$ содержит прямую $a$ и точку $C$. Проверим, лежит ли точка $C$ на прямой $a$. Прямая $a$ проходит через точку $A$ и параллельна $BD$. Если бы точка $C$ лежала на прямой $a$, то прямая $AC$ совпадала бы с прямой $a$. В этом случае было бы $AC \parallel BD$. Но диагонали ромба пересекаются, а не параллельны. Значит, точка $C$ не лежит на прямой $a$ ($C \notin a$).

6. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Мы знаем, что и прямая $a$, и точка $C$ лежат в плоскости ромба $\alpha$. Следовательно, плоскость, определяемая прямой $a$ и точкой $C$, — это и есть плоскость $\alpha$.

7. Из нашего предположения следовало, что прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$, которая, как мы только что выяснили, должна совпадать с плоскостью $\alpha$. То есть $\beta = \alpha$.

8. Если $\beta = \alpha$, а по нашему предположению $b \subset \beta$, то получается, что $b \subset \alpha$. Это напрямую противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямая $b$ не лежит в плоскости ромба.

9. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости, неверно. По определению, прямые, не лежащие в одной плоскости, являются скрещивающимися.

Ответ: Доказано, что прямые a и b — скрещивающиеся прямые.

39. Докажите, что если АВ и CD скрещивающиеся прямые, то AD и ВС также скрещивающиеся прямые.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что прямые AD и BC не являются скрещивающимися.

По определению, две прямые не являются скрещивающимися, если они лежат в одной плоскости (то есть пересекаются или параллельны). Пусть прямые AD и BC лежат в некоторой плоскости $\alpha$.

Если прямая AD лежит в плоскости $\alpha$, то все её точки, включая точки A и D, принадлежат этой плоскости. Аналогично, если прямая BC лежит в плоскости $\alpha$, то и точки B и C принадлежат этой плоскости.

Таким образом, получается, что все четыре точки A, B, C и D лежат в одной плоскости $\alpha$.

Рассмотрим прямую AB. Так как её точки A и B лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии вся прямая AB целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим прямую CD. Так как её точки C и D лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая CD целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Итак, из нашего предположения следует, что прямые AB и CD лежат в одной плоскости $\alpha$. Но это означает, что они либо пересекаются, либо параллельны, и не могут быть скрещивающимися.

Это заключение прямо противоречит условию задачи, согласно которому прямые AB и CD являются скрещивающимися (то есть не лежат в одной плоскости). Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямые AD и BC не скрещиваются, было неверным.

Таким образом, прямые AD и BC также являются скрещивающимися. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано методом от противного, показав, что допущение о копланарности прямых AD и BC приводит к противоречию с условием о том, что прямые AB и CD скрещивающиеся.

40. На скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точки М и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость α, а через прямую b и точку М — плоскость β.

а) Лежит ли прямая b в плоскости α?

б) Пересекаются ли плоскости α и β? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.

а)

По условию, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. Это означает, что они не лежат в одной плоскости. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$ и точку $N$, где $N \in b$. Предположим, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как по определению плоскости $\alpha$ прямая $a$ также лежит в этой плоскости ($a \subset \alpha$), то получается, что обе прямые, $a$ и $b$, лежат в одной плоскости $\alpha$. Но две прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. Они не могут быть скрещивающимися. Это противоречит исходному условию, что прямые $a$ и $b$ скрещиваются. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$.

Ответ: Нет, прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.

б)

Чтобы определить, пересекаются ли плоскости $\alpha$ и $\beta$, и найти линию их пересечения, нужно найти их общие точки.

1. Рассмотрим точку $M$. По условию, $M \in a$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, следовательно, все точки прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$. Таким образом, $M \in \alpha$. По определению плоскости $\beta$, она проходит через точку $M$, значит $M \in \beta$. Следовательно, точка $M$ является общей точкой для обеих плоскостей.

2. Рассмотрим точку $N$. По условию, $N \in b$. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$, следовательно, все точки прямой $b$ принадлежат плоскости $\beta$. Таким образом, $N \in \beta$. По определению плоскости $\alpha$, она проходит через точку $N$, значит $N \in \alpha$. Следовательно, точка $N$ также является общей точкой для обеих плоскостей.

Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, они не пересекаются, и точки $M$ и $N$, лежащие на этих прямых, являются различными ($M \neq N$).

Мы нашли две различные общие точки $M$ и $N$ для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, так как в противном случае прямые $a$ и $b$ лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию.

Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, и линией их пересечения является прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, то есть прямая $MN$.

Ответ: Да, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $MN$.

41. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.

Нет, каждая из двух скрещивающихся прямых не может быть параллельна одной и той же третьей прямой. Обоснуем это утверждение с помощью доказательства от противного.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые, назовем их $a$ и $b$. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны друг другу.

Предположим обратное, то есть что существует третья прямая $c$, которой параллельны обе прямые $a$ и $b$. Математически это можно записать как $a \parallel c$ и $b \parallel c$.

Согласно основной теореме о параллельности прямых в пространстве (свойство транзитивности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Из нашего предположения ($a \parallel c$ и $b \parallel c$) и этой теоремы следует, что прямая $a$ должна быть параллельна прямой $b$, то есть $a \parallel b$.

Однако этот вывод ($a \parallel b$) вступает в прямое противоречие с исходным условием задачи, в котором говорится, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые не параллельны.

Поскольку мы пришли к противоречию, наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, две скрещивающиеся прямые не могут быть одновременно параллельны третьей прямой.

Ответ: Нет, не может. Если бы две скрещивающиеся прямые были параллельны третьей прямой, то по теореме о транзитивности параллельности они были бы параллельны и друг другу, что противоречит определению скрещивающихся прямых.

42. Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕK с основанием ЕK, не лежащие в одной плоскости.

а) Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕK.

б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, ЕK = 27,5 см.

а)

По условию задачи, $ABCD$ — это параллелограмм. Из определения параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны. Таким образом, прямая $CD$ параллельна прямой $AB$ ($CD \parallel AB$).

Также по условию, $ABEK$ — это трапеция с основанием $EK$. В трапеции основания параллельны. Сторона $AB$ противолежит основанию $EK$, следовательно, $AB$ является вторым основанием трапеции. Таким образом, прямая $AB$ параллельна прямой $EK$ ($AB \parallel EK$).

Итак, мы имеем, что $CD \parallel AB$ и $AB \parallel EK$. В стереометрии существует теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Применяя эту теорему, получаем, что $CD \parallel EK$.

Так как по условию фигуры не лежат в одной плоскости, то прямые $CD$ и $EK$ не совпадают.

Ответ: Прямые $CD$ и $EK$ параллельны.

б)

По условию, в трапецию $ABEK$ можно вписать окружность. Четырёхугольник, в который можно вписать окружность, называется описанным. Для описанного четырёхугольника (и, в частности, для трапеции) справедливо свойство, известное как теорема Пито: суммы длин противолежащих сторон равны.

Для трапеции $ABEK$ это свойство означает, что сумма длин оснований ($AB$ и $EK$) равна сумме длин боковых сторон ($BE$ и $KA$):

$AB + EK = BE + KA$

Периметр трапеции $P_{ABEK}$ равен сумме длин всех её сторон:

$P_{ABEK} = AB + BE + EK + KA$

Сгруппируем слагаемые: $P_{ABEK} = (AB + EK) + (BE + KA)$.

Так как $BE + KA = AB + EK$, мы можем подставить это выражение в формулу периметра:

$P_{ABEK} = (AB + EK) + (AB + EK) = 2 \cdot (AB + EK)$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия: $AB = 22,5$ см и $EK = 27,5$ см.

$P_{ABEK} = 2 \cdot (22,5 + 27,5) = 2 \cdot 50 = 100$ см.

Ответ: 100 см.

43. Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть $A, B, C, D$ – вершины произвольного пространственного четырехугольника. Это означает, что его вершины не обязательно лежат в одной плоскости. Обозначим середины его сторон как $K, L, M, N$ соответственно: $K$ – середина $AB$, $L$ – середина $BC$, $M$ – середина $CD$, и $N$ – середина $DA$. Требуется доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Для доказательства проведем в пространственном четырехугольнике диагональ $AC$ и воспользуемся свойством средней линии треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По определению, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине. Таким образом, мы получаем:
$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $NM$ соединяет середины сторон $DA$ и $DC$. Следовательно, $NM$ является средней линией треугольника $ADC$. По тому же свойству средней линии:
$NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2} AC$.

Сравнивая полученные результаты для отрезков $KL$ и $NM$, мы видим, что:

• Оба отрезка $KL$ и $NM$ параллельны одному и тому же отрезку $AC$. Из этого следует, что $KL \parallel NM$.
• Длины обоих отрезков $KL$ и $NM$ равны одной и той же величине $\frac{1}{2} AC$. Из этого следует, что $KL = NM$.

Мы установили, что в четырехугольнике $KLMN$ две противоположные стороны, $KL$ и $NM$, параллельны и равны по длине. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

44. Прямые ОB и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD, если:

a) ∠AOB = 40°;

б) ∠AOB = 135°;

в) ∠AOB = 90°.

По определению, угол между двумя скрещивающимися прямыми равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

В данной задаче нам нужно найти угол между скрещивающимися прямыми $OA$ и $CD$. Из условия мы знаем, что прямая $OB$ параллельна прямой $CD$ ($OB \parallel CD$). Также прямые $OA$ и $OB$ пересекаются в точке $O$.

Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $OA$ и $CD$ равен углу между пересекающимися прямыми $OA$ и $OB$. Углом между прямыми считается наименьший из углов, образованных при их пересечении, поэтому его величина не может превышать $90^\circ$.

а) Если $\angle AOB = 40^\circ$.
Угол между прямыми $OA$ и $CD$ равен углу между прямыми $OA$ и $OB$. Так как $40^\circ$ является острым углом ($0^\circ \le 40^\circ \le 90^\circ$), то искомый угол равен $40^\circ$.
Ответ: $40^\circ$.

б) Если $\angle AOB = 135^\circ$.
Угол между прямыми $OA$ и $CD$ равен углу между прямыми $OA$ и $OB$. Так как угол $135^\circ$ больше $90^\circ$, то за угол между прямыми принимается смежный с ним угол. Он равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

в) Если $\angle AOB = 90^\circ$.
Угол между прямыми $OA$ и $CD$ равен углу между прямыми $OA$ и $OB$. Угол равен $90^\circ$. В этом случае прямые перпендикулярны.
Ответ: $90^\circ$.

45. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен:

а) 50°;

б) 121°.

Обозначим плоскость параллелограмма $ABCD$ как $\alpha$.

Доказательство того, что прямые $a$ и $CD$ скрещивающиеся:

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости, то есть они не пересекаются и не параллельны.

1. Докажем, что $a$ и $CD$ не пересекаются.

   По условию, прямая $a$ не лежит в плоскости параллелограмма $\alpha$. Прямая $CD$ полностью лежит в плоскости $\alpha$. По условию, прямая $a$ параллельна стороне $BC$ ($a \parallel BC$), которая также лежит в плоскости $\alpha$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, $a \parallel \alpha$.

   Раз прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, она не имеет с ней общих точек. Поскольку прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $a$ не может пересечь прямую $CD$.

2. Докажем, что $a$ и $CD$ не параллельны.

   Предположим, что $a \parallel CD$. По условию мы знаем, что $a \parallel BC$. Из этих двух предположений по свойству транзитивности параллельных прямых следовало бы, что $BC \parallel CD$. Но $BC$ и $CD$ — это смежные стороны параллелограмма $ABCD$, они пересекаются в точке $C$ и не могут быть параллельными. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $a$ и $CD$ не параллельны.

Так как прямые $a$ и $CD$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися, что и требовалось доказать.

Нахождение угла между прямыми $a$ и $CD$:

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Поскольку по условию $a \parallel BC$, угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $CD$ равен углу между прямыми $BC$ и $CD$. Этот угол равен меньшему из двух смежных углов, образованных сторонами $BC$ и $CD$, то есть он равен $\angle BCD$ или $180^\circ - \angle BCD$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

а) Один из углов параллелограмма равен $50^\circ$.

Так как $50^\circ < 90^\circ$, это острый угол параллелограмма. Другой угол, прилежащий к той же стороне, будет тупым: $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Угол $\angle BCD$ может быть либо острым, либо тупым.

• Если $\angle BCD = 50^\circ$, то угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен $50^\circ$.
• Если $\angle BCD = 130^\circ$, то угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

В обоих случаях угол между прямыми $BC$ и $CD$, а значит и между прямыми $a$ и $CD$, равен $50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.

б) Один из углов параллелограмма равен $121^\circ$.

Так как $121^\circ > 90^\circ$, это тупой угол параллелограмма. Другой угол, прилежащий к той же стороне, будет острым: $180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$. Угол $\angle BCD$ может быть либо острым, либо тупым.

• Если $\angle BCD = 121^\circ$, то угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен меньшему из смежных углов: $180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$.
• Если $\angle BCD = 59^\circ$, то угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен $59^\circ$.

В обоих случаях угол между прямыми $BC$ и $CD$, а значит и между прямыми $a$ и $CD$, равен $59^\circ$.

Ответ: $59^\circ$.

46. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что:

а) m и АС — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними;

б) m и AD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если угол ABC равен 128°.

а) Докажем, что прямые $m$ и $AC$ — скрещивающиеся. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости, то есть не пересекаются и не параллельны.
Пусть плоскость ромба $ABCD$ обозначается как $\alpha$. По условию, прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $m$ не лежит в этой плоскости.
1. Проверим, пересекаются ли прямые $m$ и $AC$. Предположим, что они пересекаются в некоторой точке $K$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $K$ принадлежит этой плоскости. Но если точка $K$ прямой $m$ лежит в плоскости $\alpha$, то либо прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в этой точке, либо лежит в ней. По условию, $m \parallel BD$ и $BD \subset \alpha$. Если бы $m$ пересекала $\alpha$, то она пересекала бы и $BD$ (по свойству параллельных прямых и плоскости), что противоречит их параллельности. Если бы $m$ лежала в $\alpha$, это бы противоречило условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $m$ и $AC$ не пересекаются.
2. Проверим, параллельны ли прямые $m$ и $AC$. По условию, $m \parallel BD$. В ромбе диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются. Если бы $m \parallel AC$, то по свойству транзитивности параллельных прямых следовало бы, что $AC \parallel BD$. Но это не так, они пересекаются. Значит, $m$ и $AC$ не параллельны.
Так как прямые $m$ и $AC$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.
Теперь найдем угол между ними. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным.
Поскольку $m \parallel BD$, угол между прямыми $m$ и $AC$ равен углу между диагоналями ромба $BD$ и $AC$. По свойству ромба, его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) Докажем, что прямые $m$ и $AD$ — скрещивающиеся. Используем ту же логику, что и в пункте а).
1. Пересечение. Прямая $AD$ лежит в плоскости ромба $\alpha$, а $m$ — нет. Если бы они пересекались, точка пересечения лежала бы в $\alpha$, что привело бы к противоречию с условием, что $m$ не лежит в $\alpha$ и $m \parallel BD$. Значит, они не пересекаются.
2. Параллельность. По условию, $m \parallel BD$. Прямые $AD$ и $BD$ не параллельны, так как они имеют общую точку $D$. Следовательно, $m$ и $AD$ не могут быть параллельны.
Таким образом, прямые $m$ и $AD$ являются скрещивающимися.
Найдем угол между ними. Угол между $m$ и $AD$ равен углу между $BD$ и $AD$, так как $m \parallel BD$. Этот угол — $\angle ADB$.
Рассмотрим ромб $ABCD$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$.
$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.
Так как все стороны ромба равны, то $AB=AD$. Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ADB = \angle ABD$.
Сумма углов треугольника $ABD$ равна $180^\circ$:
$\angle BAD + \angle ADB + \angle ABD = 180^\circ$
$52^\circ + 2 \cdot \angle ADB = 180^\circ$
$2 \cdot \angle ADB = 180^\circ - 52^\circ$
$2 \cdot \angle ADB = 128^\circ$
$\angle ADB = \frac{128^\circ}{2} = 64^\circ$.
Следовательно, угол между прямыми $m$ и $AD$ равен $64^\circ$.
Ответ: $64^\circ$.

47. В пространственном четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.

Пусть $ABCD$ — заданный пространственный четырехугольник. Обозначим через $M$ середину отрезка $BC$ и через $N$ середину отрезка $AD$. Требуется доказать, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой $MN$. По условию, длины сторон $AB$ и $CD$ равны, то есть $AB = CD$.

Для доказательства используем метод дополнительного построения. Введем вспомогательную точку $K$, которая является серединой диагонали $AC$. Соединим точки $M$, $N$ и $K$ отрезками.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Согласно свойству средней линии треугольника, отрезок $MK$ параллелен стороне $AB$ и его длина равна половине длины стороны $AB$. Таким образом, мы имеем:

$MK \parallel AB$ и $MK = \frac{1}{2}AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Аналогично, отрезок $NK$ соединяет середины сторон $AD$ и $AC$. Следовательно, $NK$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, $NK$ параллельна стороне $CD$ и ее длина равна половине длины стороны $CD$. Таким образом:

$NK \parallel CD$ и $NK = \frac{1}{2}CD$.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми по определению равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным.

Поскольку $MK \parallel AB$, угол между прямой $MN$ и прямой $AB$ равен углу между прямой $MN$ и прямой $MK$. В треугольнике $KMN$ этот угол соответствует $\angle KMN$.

Поскольку $NK \parallel CD$, угол между прямой $MN$ и прямой $CD$ равен углу между прямой $MN$ и прямой $NK$. В треугольнике $KMN$ этот угол соответствует $\angle KNM$.

Следовательно, задача сводится к доказательству равенства углов $\angle KMN$ и $\angle KNM$ в треугольнике $KMN$.

Из условия задачи нам известно, что $AB = CD$. Используя выведенные ранее соотношения для длин $MK$ и $NK$, получаем:

$MK = \frac{1}{2}AB$ и $NK = \frac{1}{2}CD$.

Так как $AB = CD$, то и $MK = NK$.

Треугольник $KMN$, в котором две стороны ($MK$ и $NK$) равны, является равнобедренным с основанием $MN$. В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к основанию, равны. Следовательно, $\angle KMN = \angle KNM$.

Так как мы установили, что угол между $AB$ и $MN$ равен $\angle KMN$, а угол между $CD$ и $MN$ равен $\angle KNM$, то из равенства $\angle KMN = \angle KNM$ следует, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков $BC$ и $AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, данное в условии задачи, доказано.